|
|
-0.917 2.18 0.808 -5 -7.52 -17.5 7.55 -10.2 11.5 -21.7 2.23 0.909 -7.49 19.7 4.75 -10.3 11.9 10.8 -4.14 -8.63 -6.32 -13.4 -3.89 -5.4 -1.42 19.6 32 |
2,5 19,5 24 4,5 2,5 8,5 18 8,5 14 11 21 10 7 12,5 12,5 16 19,5 4,5 26 6 22 16 27 23 25 1 16 |
15 18 16 11 7 2 21 5 23 1 19 17 8 26 20 4 24 22 12 6 9 3 13 10 14 25 27 |
-15 -18 8 -11 -7 -2 -3 -5 -9 10 2 -7 -1 -26 -20 12 -24 -22 14 0 13 13 14 13 11 -24 -11 |
225 324 64 121 49 4 9 25 81 100 4 49 1 676 400 144 576 484 196 0 169 169 196 169 121 576 121 |
Приведем график зависимости регрессионных остатков от изменения признака Х7.
По оси ординат (У) отражено значение остатков , по оси абсцисс (х) значение признака. Как видно визуально гетероскедастичность отсутствует.
Ранговый коэффициент корреляции будет Rx,e= 0,0681, t=Rх.е =-0,3472 0,3472<1.96 , следовательно согласно критерию гетероскедастичность линейного вида отсутствует.
Проверим наличие гетероскедастичности по переменной Х9
rang xi
rang ei
Di
Di2
21.3
69.2
77.9
17.1
18.4
37.9
72.2
27.5
58.2
46.2
74
43.5
18.8
59.5
52.2
65.1
60.2
2.63
84
19.8
78.7
62
104
69.3
78.9
15.1
51.5
84.98
30.58
38.42
60.34
60.22
60.79
29.82
70.57
34.51
64.73
36.63
32.84
62.64
34.07
39.27
28.46
30.27
69.04
25.42
53.13
28.00
38.79
32.04
38.58
18.51
57.62
20.80
-0.917
2.18
0.808
-5
-7.52
-17.5
7.55
-10.2
11.5
-21.7
2.23
0.909
-7.49
19.7
4.75
-10.3
11.9
10.8
-4.14
-8.63
-6.32
-13.4
-3.89
-5.4
-1.42
19.6
32
21
10
5
25
22,5
20
2,5
26
11
15
4
16
24
6,5
13
2,5
18
27
6,5
22,5
1
8
14
12
9
17
19
15
18
16
11
7
2
21
5
23
1
19
17
8
26
20
4
24
22
12
6
9
3
13
10
14
25
27
6
-8
-11
14
-7
18
-21
21
-12
14
-15
-1
16
-26
-7
-4
-6
5
-12
-6
-8
5
1
2
-5
-8
-8
36
64
121
196
49
324
441
441
144
196
225
1
256
676
49
16
36
25
144
36
64
25
1
4
25
64
64
Приведем график зависимости регрессионных остатков от изменения признака Х9.
По оси ординат (У) отражено значение остатков , по оси абсцисс (х) значение признака. Как видно визуально гетероскедастичность отсутствует.
Ранговый коэффициент корреляции будет Rx,e= -0,1364, t=Rх.е =-0,6955 0,6955<1.96 , следовательно согласно критерию гетероскедастичность линейного вида отсутствует.
3. Устранение гетероскедастичности обобщенным методом наименьших квадратов.
Если явление гетероскедастичности наблюдается, то оценки, полученные с помощью МНК, являются смещенными и состоятельными. В этом случае следует использовать ОМНК для построения коэффициентов регрессии: bомнк=(ΧТΩˉ¹X)ˉ¹X ТΩˉ¹Y, где Ω - диагональная матрица, которую необходимо оценить. Тогда оценка регрессии будет иметь вид:Ŷ=Xbомнк. Проверка на значимость уравнения регрессии осуществляется с помощью статистики , распределенной по закону Фишера -Снедокера.
FН= , где QR=(Xb)ТΩ-1(Хb) , Qост=(У-Хb)ТΩ-1(У-Хb)
Проверка на значимость коэффициентов регрессии осуществляется с помощью статистики, распределенной по закону Стьюдента.
tн= , где Sbj=Ŝ [ ( XТΩ-1Х)-1] jj , Ŝ=
Поскольку гетероскедастичности нет ,то нет необходимости применения ОМНК.
4. Исследование модели на наличие автокорреляции.
На практике можно провести примеры, когда построенная регрессионная модель оказывается значимой, дисперсии оценок этой модели малы, но модель оказывается неадекватной описываемому процессу. Причина этого может быть в наличии явления автокорреляции - это явление, заключающееся в том, что значения случайной составляющей в любом наблюдении зависит от его значений во всех других наблюдениях. Если в этом случае проанализировать поведение остатков, то зачастую можно выявить следующие тенденции:
● значения регрессионных остатков в соседних точках оказываются одного знака. В данном случае имеет место положительная автокорреляция.
● значения регрессионных остатков в соседних точках оказываются разного знака (по закономерности ). В этом случае имеет место отрицательная автокорреляция остатков.
Явление автокорреляции по поведению остатков можно выявить, если достаточна частота наблюдений. Автокорреляция выявляется с помощью статистики Дарбина- Уотсона:
d=
Если наличие автокорреляции отсутствует, то значение статистики должно быть близкой к двум. При наличии положительной автокорреляции величина d близка к нулю (меньше двух); при отрицательной автокорреляции она близка к значению 4. Вычисляют верхнюю и нижнюю границы для критического значения статистики. Возможны три ситуации:
1) Если d<d, то делаем вывод о наличии автокорреляции;
2) Если d>d, то нет автокорреляции;
3) Если d<d<d, то в этом случае мы не можем ни принять ни отклонить нулевую гипотезу и анализ осуществляется с помощью нового критерия: d’=4-d.
В случае наличия автокорреляции ее необходимо устранить, т.к построенные оценки коэффициентов регрессии будут смещенными и состоятельными. В литературе большое внимание уделяется зависимости первого порядка между регрессионными остатками: =+, где <1; -случайные величины, обладающие свойствоми: М=0; D=, cov[,] =0 при ij т.е. относительно мы имеем линейную регрессионную гомоскедастичную модель. Наша цель- построить ковариационную матрицу вектора регрессионных остатков, найти ее оценку и построить модель ОМНК. Исследуем случайные величины :
М= М=0
D=, т.е. дисперсия регрессионных остатков постоянная величина.
=
Таким образом, указали вид ковариационной матрицы вектора регрессионных остатков. Для оценки коэффициентов регрессии ОМНК необходимо построить матрицу. Используя вид можно указать .
На практике величина неизвестна. Рассмотрим способом оценивания с помощью метода Кокрейна-Оркатта, который представляет собой итерационный подход, включающий следующие этапы:
1. Оценивается регрессия МНК: У=Х;
2. Вычисляются остатки e;
3. Оценивается регрессионная зависимость еот е: е=, коэффициент при е представляет оценку ,
4. Строится . Используя эту матрицу оцениваем регрессионную зависимость У от Х ОМНК.
5. Повторно вычисляют епроцесс возвращается к пункту 3.
Процесс заканчивается, когда значения на последнем и предпоследнем этапах будут примерно одинаковыми.
Таким образом указан один из способов построения матрицы , в случае зависимости регрессионных остатков первого порядка. Используя матрицу можно построить вектор оценок коэффициентов регрессии ОМНК, проверить на значимость уравнение регрессии, построить доверительные интервалы по вышеописанным формулам
Проверим наличие автокорреляции в модели. Составим расчетную таблицу:
0.917
2.18
0.808
-5
-7.52
-17.5
7.55
-10.2
11.5
-21.7
2.23
0.909
-7.49
19.7
4.75
-10.3
11.9
10.8
-4.14
-8.63
-6.32
-13.4
-3.89
-5.4
-1.42
19.6
2.18
0.808
-5
-7.52
-17.5
7.55
-10.2
11.5
-21.7
2.23
0.909
-7.49
19.7
4.75
-10.3
11.9
10.8
-4.14
-8.63
-6.32
-13.4
-3.89
-5.4
-1.42
19.6
32
9,59141
1,88238
33,7329
6,3504
99,6004
627,502
315,063
470,89
1102,24
572,645
1,74504
70,5432
739,296
223,502
226,503
492,84
1,21
223,204
20,1601
5,3361
50,1264
90,4401
2,2801
15,8404
441,84
153,76
0,840889
4,7524
0,652864
25
56,5504
306,25
57,0025
104,04
132,25
470,89
4,9729
0,826281
56,1001
388,09
22,5625
106,09
141,61
116,64
17,1396
74,4769
39,9424
179,56
15,1321
29,16
2,0164
384,16
Посчитаем критерий Дарбина-Уотсона:
d==5998.124/2736.788= 2.191
Поскольку d>2 то альтернатива отсутствию автокорреляции будет существование отрицательной автокорреляции. По таблице находим для n=27, k=2 (число объясняющих переменных) и уровня значимости a=0,05 : d1=1.24 и d2 = 1.56 Т.к.
4 – d= 1.809 > d2=1.56 следовательно автокорреляции нет.
5. Устранение автокорреляции 1 – го порядка обобщенным методом наименьших квадратов.
Наша цель- построить ковариационную матрицу вектора регрессионных остатков, найти ее оценку и построить модель ОМНК. Исследуем случайные величины :
М= М=0
D=, т.е. дисперсия регрессионных остатков постоянная величина.
=
Таким образом, указали вид ковариационной матрицы вектора регрессионных остатков. Для оценки коэффициентов регрессии ОМНК необходимо построить матрицу. Используя вид можно указать .
На практике величина неизвестна. Рассмотрим способом оценивания с помощью метода Кокрейна-Оркатта, который представляет собой итерационный подход, включающий следующие этапы:
6. Оценивается регрессия МНК: У=Х;
7. Вычисляются остатки e;
8. Оценивается регрессионная зависимость еот е: е=, коэффициент при е представляет оценку ,
9. Строится . Используя эту матрицу оцениваем регрессионную зависимость У от Х ОМНК.
10. Повторно вычисляют епроцесс возвращается к пункту 3.
Процесс заканчивается, когда значения на последнем и предпоследнем этапах будут примерно одинаковыми.
Таким образом указан один из способов построения матрицы , в случае зависимости регрессионных остатков первого порядка. Используя матрицу можно построить вектор оценок коэффициентов регрессии ОМНК, проверить на значимость уравнение регрессии, построить доверительные интервалы по вышеописанным формулам.
Поскольку автокорреляции нет, то нет необходимости применения ОМНК.
Приложение 1
Исходные данные *
№ п/п
Y1
X5
X7
X10
X14
X17
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
9.26
9.38
12.11
10.81
9.35
9.87
8.17
9.12
5.88
6.30
6.22
5.49
6.50
6.61
4.32
7.37
7.02
8.25
8.15
8.72
6.64
8.10
5.52
9.37
13.17
6.67
6.68
6.22
10.02
8.16
6.78
6.48
10.44
7.65
8.77
7.00
11.06
9.02
13.28
9.27
6.70
6.69
9.42
7.24
5.39
5.61
5.59
6.57
6.54
4.23
5.22
18.00
11.03
0.78
0.75
0.68
0.70
0.62
0.76
0.73
0.71
0.69
0.73
0.68
0.74
0.66
0.72
0.68
0.77
0.78
0.78
0.81
0.79
0.77
0.78
0.72
0.79
0.77
0.80
0.71
0.79
0.76
0.78
0.62
0.75
0.71
0.74
0.65
0.66
0.84
0.74
0.75
0.75
0.79
0.72
0.70
0.66
0.69
0.71
0.73
0.65
0.82
0.80
0.83
При использовании материалов активная ссылка на источник обязательна.