В дальнейшем мы будем пользоваться определением подобия и через константы, и через инварианты в зависимости от того, какое определение при рассмотрении различных вопросов оказывается удобнее в смысле простоты изложения.

Возвращаясь к определению подобия через константы подобия, отметим, что на первый взгляд выбор всех констант подобия может казаться произвольным. На самом деле это не так. Величины, характеризующие различные явления, не являются независимыми друг от друга. Часто между ними существует определенная связь. Эта связь, называемая законом природы, во многих случаях может быть выражена в математической форме в виде уравнения.

Наличие такого уравнения, делающего одни величины зависимыми от других, налагает и на константы подобия определенные ограничения.

Нахождение зависимости между константами подобия, вызываемой существованием уравнения, связывающего между собой характеризующие явление величины, составляет содержание теоремы подобия, которая будет изложена в следующей главе.

Уравнения, описывающие различные явления природы, можно рассматривать, как имеющие различную степень общности.

Наиболее общие уравнения, выражающие общие законы природы, такие, как общие законы механики, закон сохранения энергии, можно назвать уравнениями, охватывающими целый класс явлений. Таковы были уравнения, представляющие второй закон Ньютона и первый закон термодинамики. Эти общие уравнения могут получать различные частные виды в зависимости от того, к каким частным видам явлений данного класса они будут прилагаться. Так общие уравнения механики принимают вид уравнения Навье-Стокса в применении к течению жидкости, вид уравнения колебаний упругой среды и т. п. Эти виды явлений содержат отдельные свойства однотипных явлений, отличающихся друг от друга только заданием различных условий однозначности явлений. И, наконец, единичные явления выделяются из семейства численным заданием условий однозначности, которые для каждого единичного явления семейства буквенно одинаковы, но численно отличны друг от друга.

В дальнейшем свойство уравнений связи, которое налагает на них подобие явлений, будет излагаться сперва для самых общих знаков природы и для них будут выводиться теоремы подобия. Однако  не меньшее значение будет иметь приложение общей теории подобия к частным случаям и к единичным явлениям, так как только таким путем окажется возможным скрыть наиболее важные стороны учения о подобии.

3.   Теоремы подобия.

Для обеспечения максимальной эффективности (в широком смысле слова) любых экспериментальных исследований эти исследования необходи­мо организовать так, чтобы можно было определить критерии подо­бия и представить полученные результаты критериальной функцио­нальной зависимость. Такой подход позволяет при ограни­ченном числе экспериментов дать оценку хода процесса или поведения системы при разнообразных сочетаниях параметров, их характеризую­щих, и, следовательно, получить ответы на те дополнительные вопро­сы, которые обычно возникают уже после окончания эксперименталь­но-исследовательских и испытательных работ.

Рассмотренные положения, однако, относятся к случаю заведомо подобных процессов, т.е. определяют необходимые усло­вия существования подобия. В связи с этим возникает естественный вопрос относительно того, как распознать подобие или специально обеспечить его при построении модели, т. е. вопрос об условиях, не только необходимых, но и достаточ­ных для существования подобия. Такие условия включают в себя наряду с требованием равенства критериев подобия сопоставляемых процессов также и определенные дополнительные тре­бования к условиям однозначности — требования подобия начальных и граничных условий сопоставляемых процессов (а при соблюдении геометрического подобия — и подобия геометрических характеристик соответствующих пространственных областей).

Изложенные выше положения относительно необходимых и достаточных условий подобия обычно систематизируются  в виде первой, второй и третьей теорем о подобии; первые две теоремы определяют необходимые, третья — необходимые и достаточные условия подобия (Высказываются соображения, что только вторая теорема подобия может рассматриваться как теорема в том смысле, в каком это понятие употребляется в математике, а первая и третья теоремы являются правилами выявления и обеспечения подобия. В данном изложении сохраняется наиболее распростра­ненная терминология — введенное еще И. Ньютоном название первой теоремы и предложенное М. В. Кирпичевым и А. А. Гухманом название третьей теоремы).

Первая теорема подобия. В основной современной фор­мулировке, учитывающей возможность существования различных ви­дов подобия, первая теорема имеет следующий вид: явления, подобные в том или ином смысле (полно, приближенно, физически, ма­тематически и т. д.), имеют определенные сочетания параметров, на­зываемые критериями подобия, численно одинаковые для подобных яв­лений. Первая теорема подобия называется также теоремой Ньютона или Ньютона—Бертрана.

Первая теорема подобия утверждает, что для явлений (объектов, процессов), подобных в том или ином смыс­ле, существуют одинаковые критерии подобия — идентичные по форме алгебраической записи и равные численно безразмерные сте­пенные комплексы (произведения или отношения) определенных групп физических факторов, характеризующих эти явления. Формулируя необходимые условия существования подобия (одинаковые критерии подобия у подобных явлений), первая теорема, однако, не указывает способы установления подобия и способы его реализации при построе­нии моделей.

Вторая теорема подобия. В основной формулировке эта теорема, чаще встречающаяся под названием π-теоремы, имеет следующий вид: всякое полное уравнение физического процесса, записан­ное в определенной системе единиц, может быть представлено функ­циональной зависимостью между критериями подобия, полученными из участвующих в процессе параметров.

Эта теорема утверждает, что полное уравнение физического процесса, записанное в определённой системе единиц, может быть представлено зависимостью между критериями подобия, т. е. зависимостью, связывающей безразмерные величины, определенным образом полученные из участвующих в процессе параметров. Так же как и первая, вторая теорема подобия основывается на предпосылке, что факт подобия между процессами известен, и устанавливает число критериев подобия и существование однозначной зависимости между ними. При этом выражения для критериев подобия могут быть получены, если известен состав параметров (факторов), участвующих в рассматриваемом процессе, но неизвестно его математическое описание. Теорема эта, однако, также как и первая, не указывает способов выявления подобия между сопоставляемыми процессами и способов реализации подобия при построении моделей.

Вторая теорема устанавливает возможность представления интеграла диф­ференциального уравнения физического процесса не как функции параметров процесса и системы, в которой протекают эти процессы, а как функция соответст­вующим образом построенных некоторых безразмерных величин — критериев подобия. Если исходное дифференциальное уравнение проинтегрировано, то функциональные связи между критериями подобия будут однозначно определе­ны в соответствии с теми допущениями, которые были приняты при составлении и интегрировании данного уравнения. Если же дифференциальное уравнение от­сутствовало или не интегрировалось, то вид функциональных связей между критериями подобия не будет выявлен.

Вторая теорема основывается на исследованиях Букингема, Федермана и Эренфест-Афанасьевой. Возможность представления интеграла как функции от критериев подобия, найденных из дифференциального уравнения, была строго доказана для частного случая Букингемом. В более общем виде это положение как математическая теорема было доказано Федерманом. Эренфест-Афанасье-ва привела доказательство в общем виде, показав условия, при которых интеграл можно представить как функцию критериев подобия. Одновременно было пока­зано, что из соотношений, указывающих на однородность уравнения, связываю­щего физические величины (одинаковая размерность всех членов уравнения), и из возможности получения безразмерных соотношений после деления этого урав­нения на любой из его членов следует важный вывод о существовании определен­ных соотношений между размерностями физических параметров. Эренфест-Афа­насьевой было показано, что критерии подобия можно найти при отсутствии диф­ференциального уравнения процесса на основе анализа размерностей физичес­ких величин, участвующих в этом процессе. Эта возможность была сформулиро­вана и строго доказана в виде теоремы, названной л-теоремой, поскольку упомя­нутые выше безразмерные параметры (критерии подобия) обозначались буквой л.

Третья теорема подобия. В наиболее распростра­ненной формулировке третья теорема имеет следующий вид: необхо­димыми и достаточными условиями для создания подобия являются про­порциональность сходственных параметров, входящих в условия одно­значности, и равенство критериев подобия сопоставляемых явлений. Третья теорема подобия именуется также обратной теоремой подобия или теоремой Кирпичева—Гухмана.

Напомним понятия условий однозначности. Известно, что дифференциальное уравнение в общем виде описывает бесконечное множество процессов, относящихся к данному классу. Так, например, дифференциальное уравнение u=iR+Ldi/dt описывает изменение тока во времени в цепи с активным сопротивлением R и индуктивностью L при включении ее на u=const. Условия, определяющие индивидуальные особенности процесса или явления и выделяющие из общего класса конкретный процесс или явление, называются условиями однозначности. К ним относятся следующие, не зависящие от механизма самого явления, факторы и условия:

·        геометрические свойства системы, в которой протекает процесс;

·        физические параметры среды и тел, образующих систему;

·        начальное состояние системы (начальные условия);

·        условия на границах системы (граничне или краевые условия);

·        взаимодействие объекта и внешней среды.

Очевидно, нельзя математически формулировать условия однозначности в общем виде. В каждом конкретном случае они могут быть различны в зависимости от рода решаемой задачи и вида уравнения. Так, для выделения определенного процесса из совокупности процессов, описываемых приведенным уравнением, достаточно знать параметры u, R, L и начальные условия, например, i=i0 при t=t0. В большинстве задач, связанных с исследованием полей, однозначность процессов определяется не только начальными условиями, но и свойствами среды, геометрическими свойствами системы и граничными условиями.

     Вторая формулировка третьей теоремы подобия. Практически более удачная формулировка третьей теоремы, предложенная в последнее время, имеет вид, отвечающий реальным задачам создания различных моделей. Эта формулировка состоит из трёх положений.

Положение 1. Создание модели возможно, если критерии подобия (безразмерные комплексы), составленные из величин, характеризующих только ее системные (материальные) параметры, равны соответствующим критериям изучаемой системы-оригинала.

Положение 2. В созданной, согласно положению 1, модели осуществление процессов, подобных оригиналу, возможно, если критерии подобия, содержащие только параметры процессов, входящих в условия однозначности и в том числе начальные условия (параметры исходного режима, возмущений и отклонений), в модели и оригинале соответственно одинаковы.

Положение 3. Осуществление модели согласно формулировкам 1 и 2 возможно в сколь угодно сложных анизотропных, нелинейных или имеющих вероятностно заданные параметры системах при условии одновременного соблюдения соответствующих дополнительных положениях, сформулированных ниже.

Дополнительные положения теории подо­бия. Эти положения, предложенные авторами, распространяют три основные теоремы подобия на системы сложные, системы с нелинейны­ми или переменными параметрами, анизотропные системы (с различ­ными свойствами по различным координатам) и системы, заданные ве­роятностно-статистическими характеристиками; этими же положения­ми охватываются геометрически неподобные системы, а также систе­мы, для которых понятие подобия интерпретируется шире, чем по­стоянство масштабных коэффициентов в сходственных точках прост­ранства параметров в сходственные моменты времени.

В общем случае дополнительные положения теории подобия фор­мулируются следующим образом:

— подобие сложных геометрически подобных и изотропных систем с детерминированно определенными линейными или постоянными па­раметрами, образованных несколькими соответственно подобными по отдельности подсистемами, обеспечивается, если выполняется допол­нительное условие подобия всех сходственных элементов, являющихся общими для этих подсистем;

— условия подобия сложных геометрически подобных и изотроп­ных систем с детерминированно определенными линейными и постоян­ными параметрами могут быть распространены на сложные системы с нелинейными или переменными параметрами, заданными детерминиро­ванно, если выполняется дополнительное условие совпадения относи­тельных характеристик сходственных параметров, являющихся  нели­нейными или переменными;

— условия подобия детерминированно определенных геометрически подобных изотропных сложных систем могут быть распространены на анизотропные геометрически   подобные сложные системы,   задан­ные детерминированно, если выполняется дополнительное условие обес­печения одинаковой   относительной   анизотропии   в   сопоставляемых системах;

— условия подобия детерминированно определенных геометричес­ки подобных анизотропных сложных систем с переменными или нели­нейными параметрами могут быть распространены на геометрически неподобные сложные системы с детерминированно определенными пара­метрами, если выполняется дополнительное условие обеспечения такого нелинейного подобия пространства параметров, при котором сущест­вуют подобные изменения параметров процесса в сходственных точках этого пространства;

— условия подобия сложных геометрически неподобных анизотроп­ных систем с детерминированно определенными нелинейными или пе­ременными параметрами могут  быть  распространены, на системы с вероятностно (статистически) определенными параметрами, если вы­полняются дополнительные условия совпадения плотностей вероятно­стей сходственных параметров и пропорциональности их статисти­ческих моментов, степени масштабных коэффициентов при которых совпадают с порядками соответствующих моментов.

4.   Моделирование.

Подобие физических процессов и систем широко используется в технике для исследования методом моделирования. В тех случаях когда математическое решение задачи затруднено, а то и попросту невозможно, вполне естественным является обращение к экспериментальному исследованию на моделях с последующим перерасчетом полученных результатов на натуру, которая явилась прототипом модели. При этом модель и натура должны находиться между собой в отношениях подобия.

Исследование на моделях позволяет ускорить или замедлить процессы, которые в натурных условиях развиваются со скоростью, затрудняющих вести наблюдение. При проведении эксперимента непосредственно на натуре почти всегда приходится отказываться от активного поиска оптимальных конструктивных решений, ибо это связано со значительными денежными затратами, а не редко и просто не возможно.

Теория моделирования базируется на принципах, вытекающих из теории подобия. Эти принципы заключаются в соблюдении условий, которые определяют соотношения между параметрами модели и натуры, а так же правила пересчета исследуемых величин с модели на натуру и обратно. Однако, известно, что ни одна модель не может с абсолютной полнотой воспроизвести изучаемый оригинал – для этого должно быть полное их тождество. Поэтому при моделировании стараются соблюсти в модели по крайней мере те характеристики натуры, которые являются наиболее существенными в общей картине физического процесса, обеспечивая заданную точность результатов (например при расчете стержневых конструкций пренебрегают собственным весом, а при проектировании плотины насыпи рассматривают как распределенную нагрузку).

5.   Методы подобия в механике.

Движение математического маятника

В качестве первого примера мы рассмотрим классический при­мер о движении математического маятника.

Математический маятник (рис. 1) представляет собой тяжелую материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити, которая закреплена другим своим концом неподвижно. Совокупность возможных движений мы ограничим условием, что движения маятника плоские.

Рис. 1. Математический маятник.

Введем   обозначения:   l — длина маятника,   φ — угол  между нитью и вертикалью, t — время, m — масса груза и N — натяже­ние  нити. Если пренебречь  силами   сопротив­ления,   то  задача о движении маятника  приводится к решению уравнений

,                                       (1)

                                     (2)

с начальным условием

при t=0 φ=φ0 и ,

т. е. за начальный момент времени принят  тот момент, когда маятник  отклонен на угол φ0, а скорость равна нулю.                                                        

Из уравнений (1), (2) и начального условия очевидно, что в качестве определяющих параметров можно взять следующую систему:

t, l, g, m, φ0.

Числовые значения всех остальных величин определяются полностью значениями   этих параметров.  Следовательно,  мы можем написать

φ = φ (t, φ0, l, g, m), N=mgf(t, φ0, l, g, m)                       (3)

где φ и f – безразмерные величины.

Числовые значения функций φ и f не должны зависеть от си­стемы единиц измерения. Вид этих функций можно определить либо решая уравнения (1) и (2), либо экспериментальным спо­собом.

Из общих соображений, изложенных выше, вытекает, что пять аргументов функций φ и f можно свести только к двум аргументам, которые представляют собой безразмерные комбинации, составлен­ные из t, l, g, m и φ0, так как имеются три независимые единицы измерения.

Из величин t, l, g, m и φ0 можно составить две независимые безразмерные  комбинации

φ0 и                                                (4)

Все другие безразмерные комбинации, составленные из t, l, g, m и φ0 или вообще из любых величин, определяемых этими парамет­рами, будут функциями комбинаций (4). Следовательно, можно написать

,                                           (5')

.                                         (5")

Формулы (5), полученные с помощью метода размерности, показывают, что закон движения не зависит от массы груза, а натяжение нити прямо пропорционально массе груза. Эти вы­воды вытекают также непосредственно из уравнений (1) и (2). Величину  можно рассматривать как время, выраженное в специальной системе единиц измерения, в которой длина маят­ника и ускорение силы тяжести приняты равными единице.

Обозначим через Г какой-нибудь характерный промежуток времени, например время движения маятника между крайним и вертикальным положениями или между двумя одинаковыми фазами, т. е. период колебания, и т. д. (существование периоди­ческого движения можно принять как гипотезу или как резуль­тат, известный из дополнительных данных). Имеем

функция f2 представляет собой безразмерную величину,  а так как из l, g и m нельзя составить безразмерную комбинацию, то очевидно, что функция f2 не зависит от l, g и m. Следовательно,

                                              (6)

Формула (6) устанавливает зависимость времени Г от длины маятника. Получить вид функции f2(φ0) с помощью теории раз­мерности нельзя. Определение f2(φ0) необходимо произвести либо теоретически, на основании уравнения (1), либо эксперимен­тально.

Формулу (6) можно получить непосредственно из соотноше­ний (5'). В самом деле, для периода колебаний соотношение (5') дает

.

Решая это  уравнение,  получим формулу  (6).

Если Г есть период колебания, то из соображений симметрии очевидно, что период Г не зависит от знака φ0, т. е.

f2(φ0)= f2(-φ0).

Следовательно, функция f2 является четной функцией аргумента φ0. Предполагая, что при малых φ0 функция f2(φ0) регулярна, можно написать

f2(φ0) = c1 + c2φ02 + с3φ04 +…                                 (7)

Для малых колебаний члены со степенями φ02 и выше можно от­бросить, и для периода Г мы получаем формулу

.                                                     (8)

Решение уравнения (1) показывает, что с1 = 2π. Таким об­разом, мы видим, что для малых колебаний маятника с помощью теории размерности можно получить формулу периода колебания маятника с точностью до постоянного множителя.

Формулы (5) и (6) сохранят свою справедливость и в том случае, если вместо уравнения (1) мы возьмем уравнение

,

где f(φ) есть любая функция угла φ. Вообще справедливость фор­мул (5) и (6) вытекает из единственного условия, которое со­стоит в том, что состояние движения определяется параметрами

t, l, g, m, φ0.

Для установления этой системы параметров нам послужили урав­нения движения, но ее можно указать и не прибегая к уравне­ниям движения. В самом деле, для характеристики маятника надо указать l и m. Далее необходимо указать g, так как сущность явления определяется силой тяжести. Наконец, необходимо ука­зать φ0 и t, так как конкретное движение и состояние движения определяются углом крайнего отклонения φ0 и рассматриваемым моментом времени t.

Истечение тяжелой жидкости через водослив

Рассмотрим задачу о струйном движении тяжелой жидкости через водослив (рис. 2), который представляет собой вертикаль­ную стенку с треугольным отверстием, расположенным симмет­рично относительно вертикали, причем угол отверстия α равен 90º. Жидкость вытекает под напором h, который равен высоте уровня жидкости над вершиной треугольника на далеких рас­стояниях от отверстия водослива. Для простоты мы примем, что сосуд, в котором находится жидкость, очень велик, и поэтому движение жидкости можно считать установившимся. При струй­ном движении жидкости основное значение имеют свойства инерции и весомости,   которые характеризуются значениями плотности ρ и ускорения силы тяжести g.

Рис. 2. Перетекание тяжелой жидкости через водослив.

Установившееся течение жидкости через рассматриваемый водослив полностью определяется следующими параметрами:

ρ, g, h.

Вес  жидкости Q, вытекающий через отверстие водослива в еди­ницу времени, может быть функцией только этих параметров

Q = f(ρ, g, h).

С помощью теории размерности нетрудно найти вид этой функ­ции. В самом деле, размерность Q равняется кгс/с. Комбинация  также имеет размерность кгс/с. Поэтому отношение

является безразмерной величиной. Это отношение является функ­цией величин ρ, g, h, из которых нельзя образовать безразмерной комбинации, поэтому можно написать

или

,                                              (9)

где С есть абсолютная постоянная, которую проще всего опреде­лить из опыта. Полученная формула полностью определяет зави­симость количества протекающей жидкости от напора h и от плот­ности ρ.

Совокупность рассматриваемых движений можно расширить, допуская водосливы с различными углами α. В этом случае систе­ма определяющих параметров дополняется углом α, и формула (9) примет вид

,                                            (10)

т. е. коэффициент С будет зависеть от угла α.

Если водослив имеет прямоугольную форму шириной b, то система определяющих параметров будет

ρ, g, h, b.

Все безразмерные  величины определяются параметром h/b. Фор­мула (9) в этом  случае заменится следующей:

.                                            (11)

Функцию f(h/b) можно определить опытным путем, наблюдая течение через водослив различной ширины b, но с постоянным h. Определив таким способом функцию f(h/b), формулу (11) можно применять к случаям постоянной ширины b=const, но с различ­ным напором h, т. е. к случаям, в которых опыт не производился.

Этот пример показывает, что соображения, полученные с по­мощью метода размерности, могут приносить большую пользу при постановке опытов, позволяя ограничивать их количество и полу­чать благодаря этому экономию не только в средствах, но и во времени. Изменение одних величин можно заменять в опытах из­менением других величин. На основе опытов, произведенных с во­дой, можно дать исчерпывающие ответы о явлении вытекания нефти, ртути и т. д.

6.   Заключение.

Три теоремы подобия составляют главную основу теории подобия.

Вот краткое содержание изложенной теории подобия:

1)Подобные явления протекают в геометрически подобных системах и описываются буквально одинаковыми уравнениями связи.

Эти уравнения должны быть  безусловно или условно однородными.

2)Условно однородными физические уравнения делаются присоединением к ним «обусловливающих равенств», которые устанавливают равенство единице индикаторов подобия, получающихся из уравнений, или, что то же, одинаковость для подобных явлений критерием подобия.

3)Однородные уравнения могут быть представлены как функции степенных комплексов (критериев) и симплексов.

Такие «критериальные» уравнения численно одинаковы для всей группы подобных явлений.

4)Подобны те явления, уравнение связи которых буквенно одинаковы и условия однозначности которых подобны, т. е. у которых одноименные моноваленты (величины, входящие в условия однозначности) находятся в численно постоянном отношении, а одноименные моновалентные  (определяющие) критерии одинаковы.

Теория подобия дает, следовательно, общие методические указания, как поступать в каждом отдельном случае при анализе уравнений, описывающих явление, при постановке и обработке данных опыта над ним и при распространении результатов опыта на другие явления. Если же дана натура и исследовать ее хотят на модели, то теория подобия содержит методические указания по расчету и построению модели, подобной натуре.

Основные методические указание о применении теории подобия к опыту, будь то физическое экспериментирование или техническое моделирование, состоит в следующем.

При исследовании явления надо установить для него уравнения связи, дающие взаимную связь физических величин, участвующих в явлении.

Эти уравнения должны быть формулированы для того частного случая, который является объектом исследования. Присоединение к ним условий однозначности  делает исследование определенным и позволяет применить теорию подобия.

Поэтому во всех случаях, когда уравнения связи могут быть найдены, метод анализу уравнений есть единственно правильный путь применения теории подобия и только тогда, когда установить математическую зависимость между величинами, характеризующими явление, не удается, надлежит обратиться к методу анализа размерности.  Этот путь менее надежен и поэтому результат его необходимо проверять на опыте. Им не следует пренебрегать, так как во многих случаях анализ размерности дает при обработке опытов ценные выводы.

В настоящее время теория подобия имеет следующие направления.

Первым по времени направлением является приложение теории подобия к изучению разнообразных технических сооружений и моделей.

Моделирование стало мощным средством для обнаружения различных недостатков, имеющихся в следующих технических устройствах, и для изыскания путей к их устранению.

Далее моделирование уже стало широко применяться для проверки вновь конструируемых объектов, так что до их выполнения, в процессе проектирования, моделирование позволяет совершенствовать новые, еще не опробованные на практике конструкции.

Теория подобия нашла также применение при обобщении рабочих показателей целых групп однотипных машин и устройств, так что на основании обработки данных многочисленных испытаний оказывается возможным создавать новые, основанные на критериях подобия, способы расчета различных технических объектов, которые приводят к установлению рациональных, связанных с экономией энергии режимов.

Теория подобия стала научной основой обобщения данных физико-технических испытаний, своего рода теорией эксперимента, указывающей во всех тех случаях, когда решение дифференциальных уравнений физики наталкивается на трудности, путь к такой постановке опытов, что их результаты могут быть распространены на всю область изучаемых явлений.

В последнее время теория подобия не только использует уравнения физики для обобщения опытных данных, но и , обратно, при выводе дифференциальных уравнений она дает указания, с одной стороны, о введении в уравнения критериев подобия и безразмерных переменных и, с другой стороны, об использовании обобщения методами теории подобия опытных данных, являющихся исходными для составления уравнений. В качестве примера этого нового направления теории подобия можно привести установлении для турбулентного потока автомодельности отдельно для пограничного слоя и отдельно для турбулентного ядра, что позволяет получить более простую и точную формулу гидравлического сопротивления труб. Таким образом, теория подобия на наших глазах становится неотъемлемой частью теоретической физики.

7.   Список использованной литературы.

1.     Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. — 10-е изд., доп. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987 г. — 432 с.

2.     Веников В. А., Веников Г. В. Теория подобия и моделирования (применительно к задачам электроэнергетики): Учебник для вузов по спец. «Кибернетика электр. систем». — 3-е изд., переработанное и доп. — М.: Высшая школа, 1984. — 439 с., ил.

3.     Кирпичев М. В. Теория подобия. — Изд. АН СССР, 1953, 94с.

4.     Веников В. А. Теория подобия и моделирования. — М.: Высшая школа, 1976. — 479 с.

5.     Экспериментальные методы исследования деформаций и напряжений: справочное пособие. Под ред. Б. С. Касаткина. — К., Наукова думка, 1981 г.

Страницы: 1, 2