Развитием этого метода является применение производящей функции вида:

S(Z) = , (2.3)

позволяющей рассчитывать надежность объекта, который состоит из разных по надежности элементов, отличающихся производительностью. Выражение (2.3) является более универсальным, чем (2.1), но расчеты состояний усложняются, так как должны быть перемножены между собой все двучлены и сгруппированы по одинаковой производительности (пропускной способности). Оценка работоспособности объекта в том или ином расчетном состоянии должна производиться в рамках рассматриваемого метода на основе составления и анализа так называемых структурных функций. Структурная функция - выражение, отображающее взаимосвязь групп элементов, соединенных последовательно или параллельно в смысле надежности. Последовательные и параллельные соединения элементов считаются простейшими структурами, легко заменяемыми одним эквивалентным элементом с соответствующей функцией распределения состояний элементов в группе.

Например, для системы, состоящей из двух элементов x1 и x2, число состояний равно 4. Примем также, что пропускная способность каждого элемента Zi равна нагрузке системы, тогда из (2.3) получим:

S(Z) =  = p1 p2 + p1 q2 + q1 p2 + q1 q2 (2.3а)

Рассмотрим две простейшие системы с последовательным и параллельным соединением 2-х элементов.

При последовательном соединении, как известно, вероятность работоспособного состояния равна P(α(x1, x2)) = p1 p2, где символ α обозначает структурную функцию последовательного соединения элементов. Тогда, на основании формулы полной вероятности,

Q(α(x1, x2)) = 1 - P(α(x1, x2)) = p1 q2 + q1 p2 + q1 q2.

Аналогично, при параллельном соединении, вероятность неработоспособного состояния равна Q (β(x1, x2))= q1 q2 , поэтому P (β(x1, x2)) = 1- Q (β(x1, x2)) = p1 p2 + p1 q2 + q1 p2. Здесь символом β обозначена структурная функция параллельного соединения элементов.

Рассмотрим снова систему с последовательным соединением элементов. Пропускная способность группы последовательно соединенных элементов определяется элементом с наименьшей пропускной способностью:

Z[α(x1, x2,… xi … xn)] = min{Zi, i=1,..n } (2.4)

Производящая функция вида (2.3а) с использованием введенных обозначений (структурной функции последовательного соединения), для 2-х элементов, может быть записана в виде:

α(x1, x2) = p1 p2[min { Z1, Z2}] + p1 q2[min { Z1, 0}] + q1 p2[min { 0, Z2}] + q1 q2[min { 0,0}] =

(p1 p2)[min { Z1, Z2}] + (p1 q2 + q1 p2 + q1 q2)[0] =

P(α(x1, x2))[min { Z1, Z2}] + Q(α(x1, x2)) [0] = 1. (2.4а)

Отметим, что эквивалентный последовательный элемент так же является бинарным.

Рассмотрим теперь систему с параллельным соединением элементов. Пропускная способность группы n параллельно соединенных элементов равна сумме пропускных способностей элементов:

Z n[β(x1, x2,… xi … xn)] =  (2.5)

Производящая функция вида (2.3а) с использованием введенных обозначений - структурной функции параллельного соединения, - для 2-х элементов, может быть записана в виде:

β(x1, x2) = p1 p2[ Z1+Z2] + p1 q2[ Z1+0] + q1 p2[0+ Z2] + q1 q2[0+0] =

p1 p2[ Z1+Z2] + p1 q2[ Z1] + q1 p2[Z2] + Q(β(x1, x2)) = 1. (2.5а)

Эквивалентный структурный элемент параллельного соединения будет содержать столько слагаемых, сколько различных состояний по пропускной способности может иметь этот эквивалент, поэтому в общем случае, не является бинарным.

Система параллельно соединенных элементов, в смысле надежности, будет находиться в состоянии отказа только тогда, когда пропускная способность системы будет ниже нагрузки. Для определения состояния отказа группы параллельно соединенных элементов суммарная пропускная способность r = (п-т)работоспособных элементов, характеризующих данное состояние (m элементов при этом находится в отказе):

Z r[β(x1, x2,… xi … xn)] = , (2.6)

сопоставляется с мощностью нагрузки ZH. Если Z r < ZH , то, в данном состоянии, имеет место отказ электроснабжения потребителя.

Конечной целью преобразований структурной функции является приведение некоторой достаточно сложной схемы объекта к одному эквивалентному элементу путем конечного числа операций эквивалентных преобразований последовательных и параллельных соединений схемы.

Этап разработки структурной функции системы является начальным в решении задачи оценки надежности объекта. Следующими обязательными этапами должны быть:

·        оценка (и оптимизация) режимов, полученных на первом этапе расчетных состояний объекта с выделением состояний, в которых обеспечивается требуемое электроснабжение потребителя (нагрузки), и состояний, когда это требование не обеспечивается;

·        определение показателей надежности объекта по результатам расчетов на первом и втором этапах.

2.4   
Расчет задания

Рис. 2.1. Схема установки (основная).

Параметры элементов резервирования

Пропускная способность (производительность) элементов (ед.мощности)

Коэффициенты готовности элементов (формат 0.dd)

Удельная стоимость элементов (тыс.руб / ед.мощности)

Вероятности работоспособного состояния (коэффициенты готовности) pi и пропускной способности (производительности) Zi элементов установки приведены в таблице:

Таблица 1.1

Расчетная нагрузка установки: Zном = 70 ед., максимальная - Zmax = 110 ед. При построении зависимости показателя надежности установки от нагрузки следует рассмотреть ряд нагрузок не менее максимальных (контрольные точки подчеркнуты): 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 110

Нормативный показатель надежности установки принят равным P норм=0,98

Для резервирования схемы предлагается использовать элементы типа A, В или С; их параметры даны в следующей таблице:

Таблица 1.1

2.4.1 Вычисление структурных функций

Для рассматриваемой схемы структурная функция S(Z) имеет вид:

S(Z) = β∑( α 1(x1x4) α 2(x2x5) α 3(x3x6)) (2.7)

В этом выражении операция α 1 предполагает преобразование двух элементов х1х4 в один эквивалентный структурный элемент (который так и обозначим - α 1); α 2 состоит из двух элементов x2x5, которые тоже будут преобразованы в один элемент - α 2; α 3 состоит из двух элементов x3x6, которые тоже будут преобразованы в один элемент - α 3. При этом элементы α 1, α 2, α 3 образуют вместе три параллельно соединенных (в смысле надежности) элемента посредством операции β.

Выражение для каждого αi выпишем максимально подробно:

α 1(x1x4) = (p1[50]+q2[0])(p4[70]+q4[0])=p1p4[50] +[p1q4 +p4 q1+ q1 q4][0]=0,95*0,85[50]+[0,95*0,15+0,85*0,05+0,05*0,15][0]=0,8075[50]+0,1925[0]=1 (проверка)

α 2(x2x5) = (p2[50]+q1[0])(p5[70]+q5[0])=p2p5[50] +[p2q5 +p45q2+ q2 q5][0]=0,95*0,85[50]+[0,95*0,15+0,85*0,05+0,05*0,15][0]=0,8075[50]+0,1925[0]=1 (проверка)

α 3(x3x6) = (p3[50]+q3[0])(p6[70]+q6[0])=p3p6[50] +[p3q6+p6q3+ q3 q6][0]=0,95*0,85[50]+[0,95*0,15+0,85*0,05+0,05*0,15][0]=0,8075[50]+0,1925[0]=1 (проверка)

S(Z) = β∑( α 1(x1x4) α 2(x2x5) α 3(x3x6))= (0,8075^3)*[50+50+50]+ (0,8075^2)*0,1925[50+50]+ (0,8075^2)*0,1925[50+50]+ (0,8075^2)*0,1925[50+50]+ 0,8075*(0,1925^2)[50]+ 0,8075*(0,1925^2)[50]+ 0,8075*(0,1925^2)[50]+(0,1925^3)[0]=0,5265[150]+0,3766[100]+0,0898[50]+0,0071[0] =1. (2.8)

Рис. 2.2. Показатели надежности установки в зависимости от нагрузки.

Анализ графика в контрольных точках показывает:

· область вблизи номинальной нагрузки, до 70 ед., обеспечена пропускной способностью системы с вероятностью не менее 0,9031;

·        максимальная нагрузка равна предельной пропускной способности и вероятность ее обеспечения минимальна, составляет 0,5262.

2.4.3 Обеспечение нормативного уровня надежности установки

Из таблицы 2.2. следует, что при расчетной нагрузке 70 ед. вероятность безотказной работы установки P[Z ≥ 70] = 0,9031 не соответствует заданному нормативному уровню P норм = 0,98. Следовательно, требуется повышение надежности установки, которое в данном случае может быть обеспечено вводом дополнительной перемычки.

Для рассматриваемой схемы структурная функция S(Z) имеет вид:

S(Z) = α∑( β1(x1x2 x3)β2(x4x5 x6)) (2.7)

В этом выражении операция β1 предполагает преобразование трех элементов х1х2 x3 в один эквивалентный структурный элемент (который так и обозначим - β1); β2 состоит из трех элементов х4х5 x6, которые тоже будут преобразованы в один элемент - β2. При этом элементы β1, β2 образуют вместе два последовательно соединенных (в смысле надежности) элемента посредством операции α.

Выражение для каждого β i выпишем максимально подробно:

β1(x1 x2 x3) = ( p1 p2 p3 [150]+ p1 p2q3[100]+ p1 q2 q3[50]+ p1p3 q2[100]+ p2p3 q1[100]+ p3 q1 q2[50]+ p2q1 q3[50]+ q1 q2q3[0]= 0,8574[150]+0,0451[100]+0,0024[50]+0,0451[100]+0,0451[100]+0,0024[50]+0,0024[50]+0,0001[0]=0,8574[150]+0,1353[100]+0,0072[50]+0,0001[0]=1

(проверка)

β1(x4 x5 x6) = ( p4 p5 p6 [210]+ p4 p5q6[140]+ p4 q5 q6[70]+ p4p6 q5[140]+ p5p6q4[140]+ p6 q4 q5[70]+ p5q4q6[70]+ q4 q5q6[0]= 0,6141[210]+0,1084[140]+0,0191[70]+0,1084[140]+0,1084[140]+0,0191[70]+0,0191[70]+0,0034[0]=0,6141[210]+0,3252[140]+0,0573[70]+0,0034[0]=1

(проверка)

S(Z) = α∑( β1(x1x2 x3)β2(x4x5 x6))= (0,8574[150]+0,1353[100]+0,0072[50]+0,0001[0 ])*( k0,6141[210]+0,3252[140]+0,0573[70]+0,0034[0])=0,5265[150]+0,2788[140]+0,1271[100]+0,0569[70]+0,0072[50]+0,0035[0]=1. (2.8)

Рис. 2.3. Показатели надежности установки в зависимости от нагрузки

Анализ графика в контрольных точках показывает:

· область вблизи номинальной нагрузки, до 70 ед., обеспечена пропускной способностью системы с вероятностью не менее 0,9893 ;

·        максимальная нагрузка равна предельной пропускной способности и вероятность ее обеспечения минимальна, составляет 0,5365.

Из таблицы 2.3. следует, что при расчетной нагрузке 70 ед. вероятность безотказной работы установки P[Z ≥ 70] = 0,9893 соответствует заданному нормативному уровню P норм = 0,98.

Библиографический список

1. Надежность и диагностика систем электроснабжения железных дорог: учебник для ВУЗов ж\д транспорта / А.В. Ефимов, А.Г. Галкин. М: УМК МПС России, 2000, - 512с.

2. Китушин В.Г. Надежность энергетических систем. Учебное пособие для электроэнергетических специальностей вузов.- М.: Высшая школа, 1984г. - 256с.

3. Ковалев Г.Ф. Надежность и диагностика технических систем: задание на контрольную работу №2 с методическими указаниями для студентов IV курса специальности «электроснабжение железнодорожного транспорта». - Иркутск: ИРИИТ, СЭИ СО РАН, 2000г.-15с.

4. Дубицкий М.А. Надежность систем энергоснабжения: методическая разработка с заданием на контрольную работу. - Иркутск: ИРИИТ, ИПИ, СЭИ СО РАН, 1990г.-34с.

5. Пышкин А.А. Надежность систем электроснабжения электрических железных дорог - Екатеринбург, УЭМИИТ, 1993, - 120 с.

6. Гук Ю.Б. Анализ надежности электроэнергетических установок. - Л.: Энергоатомиздат, Ленинградское отд., 1988г. - 224с.

7. Маквардт Г.Г. Применение теории вероятностей и вычислительной техники в системе энергоснабжения.- М.: Транспорт, 1972г.- 224с.

8. Надежность систем энергетики. Терминология: сборник рекомендуемых терминов. Вып. 95. - М.: Наука, 1964г. - 44с.

Страницы: 1, 2, 3