|1. Резистор | |Идеальный резистивный элемент не обладает ни индуктивностью, ни емкостью. Если к нему| |приложить синусоидальное напряжение [pic] (см. рис. 1), то ток i через него будет | |равен | |[pic]. | |(1) | | | |Соотношение (1) показывает, что ток имеет ту же начальную фазу, что и напряжение. | |Таким образом, если на входе двухлучевого осциллографа подать сигналы u и i, то | |соответствующие им синусоиды на его экране будут проходить (см. рис. 2) через нуль | |одновременно, т.е. на резисторе напряжение и ток совпадают по фазе. | |Из (1) вытекает: | |[pic]; | |[pic]. | | | | | |[pic] | |Переходя от синусоидальных функций напряжения и тока к соответствующим им комплексам:| | | |[pic]; | |[pic], | |- разделим первый из них на второй: | |[pic] | |или | |[pic]. | |(2) | | | |Полученный результат показывает, что отношение двух комплексов есть вещественная | |константа. Следовательно, соответствующие им векторы напряжения и тока (см. рис. 3) | |совпадают по направлению. | | | |2. Конденсатор | |Идеальный емкостный элемент не обладает ни активным сопротивлением (проводимостью), | |ни индуктивностью. Если к нему приложить синусоидальное напряжение [pic] (см. рис. | |4), то ток i через него будет равен | |[pic]. | |(3) | | | | | |Полученный результат показывает, что напряжение на конденсаторе отстает по фазе от | |тока на [pic]/2. Таким образом, если на входы двухлучевого осциллографа подать | |сигналы u и i, то на его экране будет иметь место картинка, соответствующая рис. 5.| | | |Из (3) вытекает: | |[pic]; | | | |[pic]. | | | | | |[pic] | |Введенный параметр [pic] называют реактивным емкостным сопротивлением конденсатора. | |Как и резистивное сопротивление, [pic] имеет размерность Ом. Однако в отличие от R | |данный параметр является функцией частоты, что иллюстрирует рис. 6. Из рис. 6 | |вытекает, что при [pic] конденсатор представляет разрыв для тока, а при [pic] [pic].| | | |Переходя от синусоидальных функций напряжения и тока к соответствующим им комплексам:| | | |[pic]; | |[pic], | |- разделим первый из них на второй: | |[pic] | |или | |[pic]. | |(4) | | | | | |В последнем соотношении [pic] - комплексное сопротивление конденсатора. Умножение на | |[pic] соответствует повороту вектора на угол [pic] по часовой стрелке. Следовательно,| |уравнению (4) соответствует векторная диаграмма, представленная на рис. 7. | | | |3. Катушка индуктивности | |Идеальный индуктивный элемент не обладает ни активным сопротивлением, ни емкостью. | |Пусть протекающий через него ток (см. рис. 8) определяется выражением [pic]. Тогда | |для напряжения на зажимах катушки индуктивности можно записать | |[pic]. | |(5) | | | |Полученный результат показывает, что напряжение на катушке индуктивности опережает по| |фазе ток на [pic]/2. Таким образом, если на входы двухлучевого осциллографа подать | |сигналы u и i, то на его экране (идеальный индуктивный элемент) будет иметь место | |картинка, соответствующая рис. 9. | |Из (5) вытекает: | |[pic] | | | | | | | | | |[pic] | | | | | |[pic]. | |Введенный параметр [pic] называют реактивным индуктивным сопротивлением катушки; его | |размерность – Ом. Как и у емкостного элемента этот параметр является функцией | |частоты. Однако в данном случае эта зависимость имеет линейный характер, что | |иллюстрирует рис. 10. Из рис. 10 вытекает, что при [pic] катушка индуктивности не | |оказывает сопротивления протекающему через него току, и при [pic] [pic]. | |Переходя от синусоидальных функций напряжения и тока к соответствующим комплексам: | |[pic]; | |[pic], | |разделим первый из них на второй: | |[pic] | |или | |[pic]. | |(6) | | | |В полученном соотношении [pic] - комплексное | |сопротивление катушки индуктивности. Умножение на [pic] соответствует повороту | |вектора на угол [pic] против часовой стрелки. Следовательно, уравнению (6) | |соответствует векторная диаграмма, представленная на рис. 11 | | | |. 4. Последовательное соединение резистивного и индуктивного элементов | | | |Пусть в ветви на рис. 12 [pic]. Тогда | |[pic]где | |[pic], причем пределы изменения [pic]. | |Уравнению (7) можно поставить в соответствие соотношение | |[pic], | |[pic] | | | | | |которому, в свою очередь, соответствует векторная диаграмма на рис. 13. Векторы на | |рис. 13 образуют фигуру, называемую треугольником напряжений. Аналогично выражение | |[pic] | |графически может быть представлено треугольником сопротивлений (см. рис. 14), который| |подобен треугольнику напряжений. | | | |5. Последовательное соединение резистивного и емкостного элементов | | | |Опуская промежуточные выкладки, с использованием соотношений (2) и (4) для ветви на| |рис. 15 можно записать | |. [pic], | |(8) | | | |где | |[pic][pic], причем пределы изменения [pic]. | | | | | | | |[pic] | | | | | |На основании уравнения (7) могут быть построены треугольники напряжений (см. рис. 16)| |и сопротивлений (см. рис. 17), которые являются подобными. | | | | | |6. Параллельное соединение резистивного и емкостного элементов | | | |Для цепи на рис. 18 имеют место соотношения: | | [pic]; | |[pic], где [pic] [См] – активная проводимость; | | [pic], где [pic] [См] – реактивная проводимость конденсатора. | | | | | | | |[pic] | | | | | | | |Векторная диаграмма токов для данной цепи, называемая треугольником токов, приведена | |на рис. 19. Ей соответствует уравнение в комплексной форме | |[pic], | |где [pic]; | | [pic] - комплексная проводимость; | | [pic]. | |Треугольник проводимостей, подобный треугольнику токов, приведен на рис. 20. | |Для комплексного сопротивления цепи на рис. 18 можно записать | |[pic]. | |Необходимо отметить, что полученный результат аналогичен известному из курса физики | |выражению для эквивалентного сопротивления двух параллельно соединенных резисторов. | |7. Параллельное соединение резистивного и индуктивного элементов | | | |Для цепи на рис. 21 можно записать | |[pic]; | | [pic], где [pic] [См] – активная проводимость; | |[pic], где [pic] [См] – реактивная проводимость катушки индуктивности. | |Векторной диаграмме токов (рис. 22) для данной цепи соответствует уравнение в | |комплексной форме | |[pic], | |где [pic]; | | [pic] - комплексная проводимость; | | [pic]. | |Треугольник проводимостей, подобный треугольнику токов, приведен на рис. 23. | | | | | | | |[pic] | | | | | |Выражение комплексного сопротивления цепи на рис. 21 имеет вид: | |[pic]. | |Литература | |1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, | |С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. | |2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. | |для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей| |вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с. | |Контрольные вопросы и задачи | |1. В чем сущность реактивных сопротивлений? | |2. Какой из элементов: резистор, катушку индуктивности или конденсатор – можно | |использовать в качестве шунта для наблюдения за формой тока? | |3. Почему катушки индуктивности и конденсаторы не используются в цепях | |постоянного тока? | |4. В ветви на рис. 12 [pic]. Определить комплексное сопротивление ветви, если | |частота тока [pic]. | |Ответ: [pic]. | |5. В ветви на рис. 15 [pic]. Определить комплексное сопротивление ветви, если | |частота тока [pic]. | |Ответ: [pic]. | |6. В цепи на рис. 18 [pic]. Определить комплексные проводимость и сопротивление | |цепи для [pic]. | |Ответ: [pic]; [pic]. | |7. Протекающий через катушку индуктивности [pic] ток изменяется по закону | |[pic] А. Определить комплекс действующего значения напряжения на катушке. | |Ответ: [pic]. |
| Теория / ТОЭ / Лекция N 5. Закон Ома для участка цепи с источником ЭДС. |
| | | | | | |[pic] | | | | | |Возьмем два участка цепи a-b и c-d (см. рис. 1) и составим для них уравнения в | |комплексной форме с учетом указанных на рис. 1 положительных направлений напряжений и| |токов. | | [pic] [pic] | |Объединяя оба случая, получим | |[pic] | |(1) | | | |или для постоянного тока | |[pic]. | |(2) | | | | | |Формулы (1) и (2) являются аналитическим выражением закона Ома для участка цепи с | |источником ЭДС, согласно которому ток на участке цепи с источником ЭДС равен | |алгебраической сумме напряжения на зажимах участка цепи и ЭДС, деленной на | |сопротивление участка. В случае переменного тока все указанные величины суть | |комплексы. При этом ЭДС и напряжение берут со знаком “+”, если их направление | |совпадает с выбранным направлением тока, и со знаком “-”, если их направление | |противоположно направлению тока. | | | |Основы символического метода расчета цепей | |синусоидального тока | | | |Расчет цепей переменного синусоидального тока может производиться не только путем | |построения векторных диаграмм, но и аналитически – путем операций с комплексами, | |символически изображающими синусоидальные ЭДС, напряжения и токи. Достоинством | |векторных диаграмм является их наглядность, недостатком – малая точность графических | |построений. Применение символического метода позволяет производить расчеты цепей с | |большой степенью точности. | |Символический метод расчета цепей синусоидального тока основан на законах Кирхгофа и | |законе Ома в комплексной форме. | |Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме, имеют совершенно такой же | |вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Только токи, ЭДС, | |напряжения и сопротивления входят в уравнение в виде комплексных величин. | |1. Первый закон Кирхгофа в комплексной форме: | |[pic]. | |(3) | | | | | |2. Второй закон Кирхгофа в комплексной форме: | |[pic] | |(4) | | | | | |или применительно к схемам замещения с источниками ЭДС | |[pic]. | |(5) | | | | | |3. Соответственно матричная запись законов Кирхгофа в комплексной форме имеет | |вид: | |. первый закон Кирхгофа: | |.[pic] ; | |(6) | | | | | |. второй закон Кирхгофа | |[pic]. | |(7) | | | | | |Пример. | |Дано: | |[pic] | |[pic][pic][pic] | | | | | |[pic][pic][pic] | | | | | |Определить: | |1) полное комплексное сопротивление цепи [pic]; | | | | | | | | | |2) токи [pic] | | | | | |Рис. 2 | | | | | |Решение: | | | |1. [pic]. | |2. [pic]. | |3. [pic] | | [pic]. | |4. Принимая начальную фазу напряжения за нуль, запишем: | |[pic]. | |Тогда | |[pic]. | |5. Поскольку ток распределяется обратно пропорционально сопротивлению ветвей (это| |вытекает из закона Ома), то | |[pic] | |6. [pic]. | |7. Аналогичный результат можно получить, составив для данной схемы уравнения по | |законам Кирхгофа в комплексной форме | |[pic] | | | |[pic] | | | |или после подстановки численных значений параметров схемы | | | |Специальные методы расчета | | | |Режим работы любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составленными на | |основании законов Кирхгофа. При этом необходимо составить и решить систему с n | |неизвестными, что может оказаться весьма трудоемкой задачей при большом числе n | |ветвей схемы. Однако, число уравнений, подлежащих решению, может быть сокращено, если| |воспользоваться специальными методами расчета, к которым относятся методы контурных | |токов и узловых потенциалов. | | | |Метод контурных токов | |Идея метода контурных токов: уравнения составляются только по второму закону | |Кирхгофа, но не для действительных, а для воображаемых токов, циркулирующих по | |замкнутым контурам, т.е. в случае выбора главных контуров равных токам ветвей связи. | |Число уравнений равно числу независимых контуров, т.е. числу ветвей связи графа | |[pic]. Первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Контуры можно выбирать | |произвольно, лишь бы их число было равно [pic] и чтобы каждый новый контур содержал | |хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие. Такие контуры называются независимыми. | |Их выбор облегчает использование топологических понятий дерева и ветвей связи. | |Направления истинных и контурных токов выбираются произвольно. Выбор положительных | |направлений перед началом расчета может не определять действительные направления | |токов в цепи. Если в результате расчета какой-либо из токов, как и при использовании | |уравнений по законам Кирхгофа, получится со знаком “-”, это означает, что его | |истинное направление противоположно. | |Пусть имеем схему по рис. 3. | |Выразим токи ветвей через контурные токи: | | [pic]; | | [pic]; [pic]; | | [pic]; [pic]. | |Обойдя контур aeda, по второму закону Кирхгофа имеем | |[pic]. | |Поскольку [pic], | |то | |[pic]. | |Таким образом, получили уравнение для первого контура относительно контурных токов. | |Аналогично можно составить уравнения для второго, третьего и четвертого контуров: | |[pic] | |совместно с первым решить их относительно контурных токов и затем по уравнениям, | |связывающим контурные токи и токи ветвей, найти последние. | |Однако данная система уравнений может быть составлена формальным путем: | |[pic] | |При составлении уравнений необходимо помнить следующее: | |[pic] - сумма сопротивлений, входящих в i-й контур; | |[pic] - сумма сопротивлений, общих для i-го и k-го контуров, причем [pic]; | |члены на главной диагонали всегда пишутся со знаком “+”; | |знак “+” перед остальными членами ставится в случае, если через общее сопротивление | |[pic] i-й и k- й контурные токи проходят в одном направлении, в противном случае | |ставится знак “-”; | |если i-й и k- й контуры не имеют общих сопротивлений, то [pic]; | |в правой части уравнений записывается алгебраическая сумма ЭДС, входящих в контур: со| |знаком “+”, если направление ЭДС совпадает с выбранным направлением контурного тока, | |и “-”, если не совпадает. | |В нашем случае, для первого уравнения системы, имеем: | |[pic] | |Следует обратить внимание на то, что, поскольку [pic], коэффициенты контурных | |уравнений всегда симметричны относительно главной диагонали. | |Если в цепи содержатся помимо источников ЭДС источники тока, то они учитываются в | |левых частях уравнений как известные контурные токи: k- й контурный ток, проходящий | |через ветвь с k- м источником тока равен этому току [pic]. | | | |Метод узловых потенциалов | |Данный метод вытекает из первого закона Кирхгофа. В качестве неизвестных принимаются | |потенциалы узлов, по найденным значениям которых с помощью закона Ома для участка | |цепи с источником ЭДС затем находят токи в ветвях. Поскольку потенциал – величина | |относительная, потенциал одного из узлов (любого) принимается равным нулю. Таким | |образом, число неизвестных потенциалов, а следовательно, и число уравнений равно | |[pic], т.е. числу ветвей дерева [pic]. | |Пусть имеем схему по рис. 4, в которой примем [pic]. | |Допустим, что [pic] и [pic] известны. Тогда значения токов на основании закона Ома | |для участка цепи с источником ЭДС | |[pic] | |Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла а: | |[pic] | |и подставим значения входящих в него токов, определенных выше: | |[pic]. | |Сгруппировав соответствующие члены, получим: | |[pic]. | |Аналогично можно записать для узла b: | |[pic]. | |Как и по методу контурных токов, система уравнений по методу узловых потенциалов | |может быть составлена формальным путем. При этом необходимо руководствоваться | |следующими правилами: | |1. В левой части i-го уравнения записывается со знаком “+”потенциал [pic] i-го | |узла, для которого составляется данное i-е уравнение, умноженный на сумму | |проводимостей [pic] ветвей, присоединенных к данному i-му узлу, и со знаком | |“-”потенциал [pic] соседних узлов, каждый из которых умножен на сумму проводимостей | |[pic] ветвей, присоединенных к i-му и k-му узлам. | |Из сказанного следует, что все члены [pic], стоящие на главной диагонали в левой | |части системы уравнений, записываются со знаком “+”, а все остальные – со знаком “-”,| |причем [pic]. Последнее равенство по аналогии с методом контурных токов обеспечивает | |симметрию коэффициентов уравнений относительно главной диагонали. | |2. В правой части i-го уравнения записывается так называемый узловой ток [pic], | |равный сумме произведений ЭДС ветвей, подходящих к i-му узлу, и проводимостей этих | |ветвей. При этом член суммы записывается со знаком “+”, если соответствующая ЭДС | |направлена к i-му узлу, в противном случае ставится знак “-”. Если в подходящих к | |i-му узлу ветвях содержатся источники тока, то знаки токов источников токов, входящих| |в узловой ток простыми слагаемыми, определяются аналогично. | |В заключение отметим, что выбор того или иного из рассмотренных методов определяется | |тем, что следует найти, а также тем, какой из них обеспечивает меньший порядок | |системы уравнений. При расчете токов при одинаковом числе уравнений предпочтительнее | |использовать метод контурных токов, так как он не требует дополнительных вычислений с| |использованием закона Ома. Метод узловых потенциалов очень удобен при расчетах | |многофазных цепей, но не удобен при расчете цепей со взаимной индуктивностью. | | | |Литература | | | |1. Основы теории цепей: Учеб.для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, | |С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с. | |2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. | |для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей| |вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с | |. | |Контрольные вопросы и задачи | | | |1. В ветви на рис. 1 [pic] [pic] [pic]. Определить ток [pic]. | |Ответ: [pic]. | |2. В чем заключается сущность символического метода расчета цепей | |синусоидального тока? | |3. В чем состоит сущность метода контурных токов? | |4. В чем состоит сущность метода узловых потенциалов? | |5. В цепи на рис. 5 [pic]; [pic]; [pic]; [pic] [pic] [pic] [pic]. Методом | |контурных токов определить комплексы действующих значений токов ветвей. | |Ответ: [pic]; [pic]; [pic]. | |6. В цепи на рис. 6 [pic] [pic][pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] | |[pic]. Рассчитать токи в ветвях, используя метод узловых потенциалов. | |Ответ: [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]; [pic]. | |[pic] |
Страницы: 1, 2, 3
