А теперь вот чем займёмся: .
Стандартный приём: когда у вас имеется сумма, в которой одно слагаемое большое, а другие маленькие, то всегда есть смысл вынести большое слагаемое за скобку и получить в сумме единицу плюс какие-то маленькие добавки, которая разлагается в ряд.
Пишем дальше: 2) . Мы избавились от корня, ну, потому что . А теперь, добывши этот результат, займёмся формулой для потенциала: 3) +. Тогда мы получаем такую формулу для потенциала:
.
Если бы мы произвели разложение поля в точке, вот я там выкинул , если ещё взять следующие поправки, то тут пошло бы слагаемое, которое характеризовало бы не дипольный момент, а, так называемый, квадрупольный момент и дальше моменты более высоких порядков. Вот сама такая процедура называется разложением по мультиполям. Мультиполь нулевого порядкам – это просто заряд, дальше, мультиполь первого порядка – это дипольный момент, дальше там квадрупольный момент. Дипольный момент задаётся вектором, квадрупольный бы момент задавался квадратной матрицей из девяти элементов, но вследствие симметрии там было бы только шесть отличных от нуля и так далее.
Это мы нашли потенциал, ну, а теперь поупражняемся в нахождении напряжённости. – это даст напряжённость поля точечного заряда, вычислим . = 1)== 2) = .
Тогда для напряжённости поля получаем:
Поле диполя.
Диполем называется такое распределение заряда, для которого полный заряд равен нулю, однако дипольный момент не равен нулю: . Легко предъявить такое распределение. Пусть мы имеем два одинаковых точечных заряда, но противоположных знаков. . Дипольный момент у нас был определён: . это что означает? заряд в маленьком элементе объёма dq умножается на радиус-вектор и суммируется по всем зарядам, если записать это дело через сумму, то это будет так: . Вот этот интеграл, если представить всё это как совокупность точечных зарядов, изображается вот такой суммой, каждый заряд умножается на свой радиус-вектор и всё складывается.
Между прочим, в механике, если мы брали бы массу частицы, умножали на радиус-вектор и суммировали, чтобы мы получили? Мы получили бы массу системы умноженную на радиус-вектор центра масс. Если начало координат выбрать в центре масс системы, то «дипольный момент – распределение масс» всегда равнялся бы нулю. Электрический заряд имеет разные знаки, здесь ситуация другая.
Значит, дипольный момент для нашей системы равняется: . Дипольный момент двух одинаковых по величине и противоположных по знаку зарядов – это вектор, идущий из отрицательного заряда в положительный, умноженный на заряд.
Теперь найдём электрическое поле. Пусть дипольный момент, вектор , в начале координат ориентирован вдоль оси ОХ, . Вычислим поле в точке (х,0,0).
, где .
Тогда .
Мораль такая: на оси ОХ напряжённость поля убывает как , то есть она обратно пропорциональна кубу расстояния, от точечного заряда – обратно пропорциональна квадрату расстояния. Направление вектора в точке (х,0,0) задаётся направлением вектора , то есть напряжённость направлен вдоль оси ОХ.
Теперь возьмём точку (0,у,0). . Это что означает? Что для этого диполя вектор в точке (х,0,0) такой, а здесь в точке (0,у,0) вектор - и по величине в два раза меньше, на том же самом расстоянии, х=у.
Вот такую структуру имеет поле диполя.
Многие молекулы обладают дипольным моментом, и с этим связаны свойства вещества, которые мы рассмотрим в следующий раз.
5
Сила, действующая на ограниченное
распределение заряда во внешнем поле
Проблема такая: имеем поле, имеем какой-то заряд, размазанный по некоторой области, локализованный заряд1). Нас интересует, какая сила будет действовать на заряженное тело, ну, или в конечном итоге, как оно будет двигаться, находясь во внешнем электрическом поле.
Вы должны, конечно, представлять, что, если это ограниченное распределение есть точечный заряд, то вы знаете, какая сила на него действует2). Наша задача найти силу, действующую на произвольное распределение заряда.
Ну, в общем-то, понятно, как это можно сделать, надо разбить распределение на совокупность точечных зарядов, находить силы, действующие на каждый из этих зарядов, и суммировать потом все силы по всему распределению. Вот такая программа. Ну, как она реализуется, мы сейчас увидим.
На точечный заряд действует сила , где , оказывается, потенциальной энергией заряда в электрическом поле (мы видели в механике, что, если сила представляется как градиент от некоторой скалярной функции, то эта функция интерпретируется как потенциальная энергия), при этом имеет место закон сохранения энергии , при этом заряд движется так: , это называется полной энергией (сумма кинетической и потенциальной энергии). Это для точечного заряда.
Потенциальная энергия ограниченного распределения заряда во внешнем поле.
Пусть имеется распределение заряда, разобьём заряд на малые элементы объёма dV, в этом элементе объёма заряд . - это потенциальная энергия заряда в элементе объёма dV, энергия элементарного заряда. Тогда вся потенциальная энергия этого распределения будет равна .
Это точная формула. Теперь мы займёмся получением приближённой формулы.
Выберем некоторую точку внутри распределения, радиус-вектор этой точки будет , радиус-вектор – это вектор, идущий из выбранной точки в этот элемент объёма, . Тогда потенциал в точке – это 1). Пока написано разложение с точностью до первых производных, дальше там пойдут слагаемые со вторыми производными и так далее, это факт математический.
В основе этого вычисления лежит следующее предположение: будем считать, что потенциал мало меняется в пределах распределения, то есть распределение не слишком велико. Это означает, что второе слагаемое много меньше первого, то есть значение потенциала в некоторой точке внутри такое-то, а добавка к потенциалу, когда мы доходим до края распределения, мала, поэтому далее слагаемые мы выкидываем вообще. Подставим теперь это дело в формулу для потенциальной энергии: 2) .
Мы добыли вот такую симпатичную формулу: , где – радиус-вектор, идущий в некоторую точку внутри распределения, это опять разложение по мультиполям.
Что это физически означает? Главный вклад в потенциальную энергию – полный заряд на значение потенциала где-то внутри распределения, поправочное слагаемое, учитывающее дипольный момент распределения (дипольный момент характеризует как там размещены друг относительно друга отрицательные и положительные заряды), и др. характеристики, учитывающие моменты более высоких порядков.
Чтобы дальше эта буква не вводила в заблуждение, перепишем результат так: .
А теперь мы можем найти силу (сила – это градиент потенциальной энергии), пишем: . И окончательно получим такой результат:
Сила, действующая на диполь во внешнем поле
Пусть q=0, но . Тогда сила равняется . Где это в физике может проявиться? Очень многие тела электрически нейтральны, то есть заряда не имеют, но имеют отличный от нуля дипольный момент. Простейший объект такого рода – молекула. Молекула – это такое образование, у которого положительные и отрицательные заряды в сумме дают ноль, но не совпадают в пространстве. Такая система обладает дипольным моментом , на который действует сила .
Кстати, легко понять, почему возникает сила, действующая на диполь. Скажем, поле создаётся положительным зарядом, имеем диполь, систему, состоящую из отрицательного заряда -q и положительного +q. Результирующая сила такая: . Если вы для такой ситуации примените формулу, то увидите, что она даст правильный результат.
Пусть мы имеем однородное электрическое поле и диполь, который изобразим как два точечных заряда. На заряд +q действует сила , на заряд -q – сила . Если поле однородно, то эти силы в сумме дадут ноль, но момент не равен нулю. Две такие силы создают вращающий момент, вектор этого момента направлен перпендикулярно плоскости рисунка. На электрически диполь в однородном поле действует вот такой момент , этот момент сил стремится развернуть диполь так, чтобы его дипольный момент стал параллелен вектору .
Это вот что означает: если поле диполь помещён в электрическое поле , как показано на рисунке 5.5, то момент будет поворачивать его так, чтобы диполь стал параллельным , а сила будет втягивать его дальше в электрическое поле.
Теперь мы можем понять, как будет вести себя вещество в электростатическом поле.
С точки зрения электричества, вещество делится на проводники и диэлектрики1). Проводники – это тела, в которых имеются свободные носители заряда, то есть заряженные частицы, которые могут свободно перемещаться внутри этого тела (например, электроны в металле, ионы в жидкости или газе). Диэлектрики – это тела, в которых нет свободных носителей заряда, то есть нет заряженных частиц, которые могли бы перемещаться в пределах этого диэлектрика. Поведение этих тел в электрическом поле различно, и сейчас мы эти различия рассмотрим.
Диэлектрики – это тела, состоящие из нейтральных молекул. Молекулы бывают полярные (обладающие дипольным моментом) и неполярные (не обладающие дипольным моментом). Диэлектрик, состоящий из полярных молекул, во внешнем поле поляризуется, то есть приобретет дипольный момент за счёт преимущественной ориентации молекулярных диполей в направлении внешнего поля.
Вот имеем кусок диэлектрика, внешнее поле отсутствует. Дипольные моменты молекул ориентированы хаотически, и в среднем дипольный момент любого элемента объёма равен нулю (рис.5.6).
Однако, если мы поместим внешнее электрическое поле, появится преимущественная ориентация, все эти дипольные моменты сориентируются примерно так, как показано на рисунке 5.7. Они не смогут все построиться вдоль поля, потому что хаотическое тепловое движение разрушает структуру, но, по крайней мере, на фоне этого хаоса они будут все стремиться сориентироваться вдоль поля.
Диэлектрик, состоящий из неполярных молекул, также поляризуется, потому что эти молекулы приобретают дипольный момент во внешнем поле.
, однако, если мы внесём эту молекулу во внешнее электрическое поле, то внешнее поле растаскивает положительный и отрицательный заряды, и молекула приобретает дипольный момент.
Поляризация диэлектрика характеризуется вектором . Смысл этого вектора следующий: если мы возьмём элемент объёма dV, то дипольный момент этого объёма будет равен . Значение дипольного момента малого объёма диэлектрика пропорционально объёму элемента, и коэффициентом стоит вектор , короче , – это плотность дипольного момента.
Теперь немного математики. У нас имеется фундаментальное уравнение (первое уравнение Максвелла, которое связывает электрическое поле с зарядом) . Из этого интегрального закона следует дифференциальный такой: , это по теореме Остроградского-Гаусса.
Имеет место такая замечательная математическая теорема для произвольного векторного поля .
Смысл этой теоремы: имеем векторное поле, имеем замкнутую поверхность, вычисляем вектор в каждой точке поверхности, умножаем на нормаль, на площадь маленькой поверхности и суммируем, этот интеграл зависит, конечно, от поведения на поверхности, мы получили число, теперь, векторное поле ведёт себя как-то внутри этой поверхности, в каждой точке внутри вычисляем эту самую дивергенцию, получим число, интегрируем по объёму, получим равенство. Поведение вектора на поверхности, оказывается, связано с начинкой этого объёма. Оставлю вектор на поверхности прежним, а внутри я могу продеформировать это поле, но, как бы там ни деформировалось поле внутри, интеграл не изменится (хотя, в каждой точке дивергенция изменится).
Вот здесь действует такая хитрая связь поведения векторного поля на поверхности и поведения его внутри объёма..
Равенство получается как следствие теоремы Остроградского-Гаусса. Здесь справа стоит плотность заряда, значит, дивергенция напряжённости равна плотности заряда. Поляризация диэлектрика эквивалентна появлению заряда с плотностью . Это не очень очевидно. Если вектор поляризации постоянен, то никакой заряд в объёме не появляется. Вот, если вектор от точки к точке меняется, то это проявляется в том, что в данном элементе объёма появляется некий фиктивный заряд.
С учётом этого дела уравнение перепишется в таком виде , где – это плотность настоящих зарядов, а – плотность связанных зарядов, вот фиктивных зарядов, появляющихся в результате поляризации диэлектрика. Теперь мы это уравнение можем преобразовать. Умножим всё на и величину перенесём влево, мы получим такое уравнение: , где – это плотность настоящих зарядов, или . Вектор называется индукцией электрического поля, и для этой индукции мы получили вот такое замечательное уравнение: .
А от него мы теперь с помощью теоремы Гаусса вернёмся к интегральному уравнению: . Для однородных диэлектриков – линейная функция напряжённости поля (), вообще, для произвольного диэлектрика – это некоторая функция от напряжённости поля (). Пишем тогда , где коэффициент называется диэлектрическая восприимчивость. Значит, этот коэффициент характеризует склонность диэлектрика к поляризации. Возвращаясь к выражению для , мы получим для однородного диэлектрика: . Величина называется диэлектрическая проницаемость среды. Это безразмерная величина, большая единицы. Тогда связь между и :
Исходим из уравнения . Окружаем этот заряд сферой радиуса r. Вектор должен быть направлен по радиусу, это следствие сферической симметрии. , отсюда мы получаем: ; .
Мораль: когда мы решали такую проблему для пустоты, напряжённость поля равнялась, когда шар поместили в диэлектрик, напряжённость поля в раз меньше, чем в пустоте. Легко понять, почему это получается. Когда заряд помещают в диэлектрик, то за счёт поляризации диэлектрика заряд +Q обволакивается отрицательным зарядом -q’, который выступает на поверхности шара.
Результирующий заряд оказывается меньше, чем Q, однако, что существенно, индукция определяется только настоящим зарядом. Заряд, проступающий на диэлектрике, не влияет на индукцию (этот вектор специально так введён). На напряжённость поля влияют все заряды, в том числе и -q’.
6
Проводники в электростатическом поле
Проводники – это тела, в которых имеются свободные носители заряда, то есть заряженные частицы, которые могут свободно перемещаться внутри этого тела. Ну, обычно, употребляется слово проводник, то в качестве синонима идёт слово металл, металлы замечательны тем, что в них имеются свободные электроны. Но, на самом деле, понятие проводника шире. Вода, например, является проводником, не сама по себе чистая вода Н2О, она состоит из нейтральных молекул, и никаких там свободных частиц нет, но в воде обычно присутствует в растворённом виде соль, то есть йод, и за счёт этого практически вся вода является проводником.
Кстати, уже в связи с тем, что мы в прошлый раз рассматривали, диэлектрики. Диэлектрическая проницаемость воды очень велика по сравнению с вот такой чистой водой, поэтому, вода является очень эффективным растворителем для многих веществ, ну, скажем, для твёрдых тел, которые устроены по ионной схеме. Так, если молекулы скреплены в твёрдом теле за счёт кулоновского взаимодействия (скажем, один атом электрон приобретает, другой теряет, вот эти атомы связаны кулоновскими силами), то такие связи вода разрушает очень эффективно за счёт своей большой диэлектрической проницаемости. Положительный и отрицательный заряды обволакиваются связанными зарядами, и эти связи разрушаются. Вода в этом плане является очень хорошим растворителем.
Вода, вообще, замечательное вещество. Все тела при охлаждении сжимаются, то есть плотность растёт (при охлаждении плотность увеличивается, при нагревании падает). Вот имеется аномальное явление в этом: максимальная плотность воды при +4ОС, при температуре ниже +4ОС плотность опять падает, то есть дальнейшее падение температуры приводит к падению плотности, то есть к расширению воды. Вот это удивительное поведение связано с тем, что вода играет в нашей жизни вот такую выдающуюся роль: во-первых, хороший растворитель для различных минеральных солей, а во-вторых, вот такое аномальное поведение плотности. Если бы этого не было, то, к примеру, в водоёмах, озёрах, реках, жизни не было бы, водоёмы промерзали бы до дна, а так водоёмы не промерзают. Ну, почему промерзают? Верхний слой воды охлаждается и идёт книзу, поскольку у него больше плотность, тёплые слои снизу выталкиваются наверх и охлаждаются снова. И это охлаждение шло бы очень эффективно. На самом деле этого не происходит. Когда температура нижних слоёв +4ОС, они приобретают максимальную плотность и не всплывают. Охлаждение может идти только за счёт теплопроводности, не за счёт перемещения масс, а за счёт теплопроводности. Теплопроводность – медленный процесс, и, скажем, за зиму водоём не успевает промёрзнуть, а, вот, если бы плотность воды не вела себя так, то он бы промерзал до дна и, в конце концов, всё, что там живёт, отдавало бы концы, а так в этой воде +4ОС живёт.
Некоторые утверждения:
1. Напряжённость внутри проводника равна нулю (это в электростатическом поле). По понятной причине. Если бы существовало поле, то на заряд е действовала бы сила равная , и под действием этой силы заряды внутри проводника двигались бы (электроны в металле двигались бы). До каких пор они могут двигаться? Ясно, что вечно двигаться они не могут, ну, скажем, у нас кусок железа лежит, и в нём они двигаются, двигаются и двигаются, железо греется при этом, а вокруг ничего не происходит. Это, конечно, было бы нелепо. А происходит следующее: имеем проводник и включается внешнее электростатическое поле, заряды начинают двигаться, при этом происходит такое перемещение зарядов внутри, что их собственное поле полностью гасит внешнее приложенное поле, на этом процесс останавливается. Это перемещение при обычных мерках практически мгновенно. Значение напряжённости электрического поля внутри проводника равно нулю. Отсюда следствие
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
