,
где k – постоянная Больцмана.
Последнее соотношение можно рассматривать как определение энтропии. При таком понимании энтропии закон ее возрастания утрачивает свою абсолютность и становится статистическим законом. Энтропия замкнутой системы может не только возрастать, но и убывать. Это можно трактовать следующим образом: если система находится в неравновесном состоянии, то переход ее в более вероятное состояние будет происходить в подавляющем большинстве случаев, переходы же в менее вероятные состояния (с меньшей энтропией) настолько маловероятные, что практически не имеют никакого значения. Тогда закон возрастания энтропии оправдывается на практике с абсолютной достоверностью.
Задача 1 Смесь азота и гелия при температуре 27 0С находится под давлением р=1,3×102 Па. Масса азота составляет 70 % от общей массы смеси. Найти концентрацию молекул каждого из газов.
T = 300 К
p = 1,3×102 Па
M1 = 0,7 M
Решение
При данном давлении газ можно считать идеальным. Согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории:
р=nkT,
откуда n=p/kT.
С одной стороны, масса каждого из газов:
M1=c1M, (1)
n1 - ?
n2 - ?
M2=c2M,
где M - масса смеси;
с1 и с2 – процентное содержание азота и гелия.
С другой стороны, масса каждого из газов:
(2)
где V – объем газа;
m - молярная масса газа;
mi/NА – масса молекулы.
Приравнивая правые части уравнений (1) и (2), получим:
c1M=; c2M=;
откуда n1/n2==1/3. Так как n1+n2=n,
то n1==0,8×1022 м-3, n2==2,4×1022 м-3.
Ответ: n1==0,8×1022 м-3, n2==2,4×1022 м-3.
Задача 2 Найти среднюю квадратичную скорость, среднюю кинетическую энергию поступательного движения и среднюю полную кинетическую энергию молекул азота и гелия при температуре 27 0С. Определить полную энергию всех молекул 100 г каждого из газов.
M1 = 0,1 кг
mНе = 4×10-3 кг/моль
mN2 = 28×10-3 кг/моль
Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа определяется как
<Е>=kT.
<E>=6,2×10-21 Дж, причем средние энергии поступательного движения одной молекулы азота и гелия одинаковы.
Средняя квадратичная скорость молекул газа зависит от массы его молекул:
<uкв> - ?
E - ?
W - ?
<uкв>=. (1)
<uкв>=;
<uкв>=13,7×102 м/с – для гелия;
<uкв>=5,17×102 м/с – для азота.
Средняя полная энергия молекулы зависит от числа степеней свободы молекулы:
<E0>=.
Полная кинетическая энергия всех молекул, равная для идеального газа его внутренней энергии, может быть найдена как произведение Е0 на число всех молекул:
Е=U=Е0×N; N=.
Гелий – одноатомный газ Þ i=3, тогда <E0>=6,2×10-21 Дж.
Азот – двухатомный газ Þ i=5, тогда <E0>=10,4×10-21 Дж.
Полная энергия всех молекул
Е=.
Для гелия W=93,5×103 Дж; для азота W=22,3×103 Дж.
Ответ: для гелия W=93,5×103 Дж; для азота W=22,3×103 Дж
Задача 3 Рассчитать среднюю длину свободного пробега молекул азота, коэффициент диффузии и вязкость при давлении р=105 Па и температуре 17 0С. Как изменятся найденные величины в результате двукратного увеличения объема газа: 1) при постоянном давлении; 2) при постоянной температуре? Эффективный диаметр молекул азота d=3,7×10-8см.
p = 105 Па
T = 300К
V2 = 2V1
1) p – const
2) T – const
d = 3,7×10-10 м
Средняя длина свободного пробега и коэффициенты переноса могут быть рассчитаны по следующим формулам:
; (1)
; (2)
, (3)
где n – концентрация молекул газа;
<u> - средняя скорость молекулы;
m0 – масса одной молекулы;
l - ?
D - ?
h - ?
Концентрацию молекул можно определить из уравнения p=nkT:
n=p/kT подставим в уравнение (1):
6,5×10-8 м.
Средняя скорость <u>==470 м/с;
Тогда D=1×10-5 м2/с.
Для расчета h подставим (1) в (3):
1,2×10-5 .
Как видно из выражения (1), длина свободного пробега зависит только от концентрации молекул. При двукратном увеличении объема концентрация уменьшится вдвое. Следовательно, при любом процессе l2/l1=2.
В выражение для коэффициента диффузии входит не только длина свободного пробега, но и средняя скорость. Тогда:
При р=const объем прямо пропорционален температуре: Т2/Т1=V2/V1=2, тогда D2/D1=.
При Т=const D2/D1=l2/l1=2.
Вязкость зависит от скорости молекул, следовательно, и от температуры, т.е.
при р=const ;
при Т=const .
Ответ: l=6,5×10-8 м; D=1×10-5 м2/с; h=1,2×10-5 .
Задача 4 Пылинки массой 10-18 г. взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается не более чем на 1%. Температура воздуха во всем объеме одинакова: Т=300 К.
m1 = 10-21 кг
n=n0×e-u/kT=n0×e-mgz/kT. (1)
DZ - ?
Дифференцируя выражение (1) по z, получим
dn=-n0××e-mgz/kT×dz.
Так как n0×e-mgz/kT=n, то dn=-×n×dz. Отсюда dz=.
Знак «-» показывает, что положительным изменениям координаты (dz>0) соответствует уменьшение относительной концентрации (dn<0). Знак «-» опускаем и заменяем dz и dn конечными приращениями Dz и Dn:
.
Dn/n=0,01 по условию задачи. Подставляя значения, получим Dz=4,23 мм.
Ответ: Dz=4,23 мм
Задача 5 Вычислить удельные теплоемкости сv и сp смеси неона и водорода. Массовые доли газов w1=0,8 и w2=0,2. Значения удельных теплоемкостей газов – неон: сv=6,24 ; cp=1,04; водород: сv=10,4; сp=14,6.
w1 = 0,8
w2 = 0,2
cV1 = 6,24 кДж/кг × К
cp1 = 1,04 кДж/кг × К
cV2 = 10,4 кДж/кг × К
cp2 = 14,6 кДж/кг × К
Теплоту, необходимую для нагревания смеси на DТ, выразим двумя соотношениями:
, (1)
где сv – удельная теплоемкость смеси,
M1 – масса неона,
M2 – масса водорода,
и , (2)
где cv1 и сv2 – удельные теплоемкости неона и водорода соответственно.
cp - ?
cv - ?
Приравняв правые части выражений (1) и (2) и разделив обе части полученного равенства на DТ, найдем:
откуда .
Отношения и выражают массовые доли неона и водорода соответственно. С учетом этих обозначений последняя формула примет вид:
Подставляя значения, получим сv=2,58×103 .
Таким же образом получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:
Подставляя значения, получим ср=3,73103.
Ответ: сv=2,58×103 ; ср=3,73103.
Задача 6 Кислород массой M=2 кг занимает объем v1=1 м3 и находится под давлением p1=2атм= 2,02×105 Па. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V2=3 м3, а затем при постоянном объеме до давления
p2=5атм=5,05×105 Па. Найти изменение внутренней энергии газа DU, совершенную им работу А и теплоту, переданную газу. Построить график процесса.
M = 2 кг
V1 = 1 м3
p1 = 2,02× 105 Па
p – const
V2 = 3 м3
V – const
p2 = 5,05 × 105 Па
Изменение внутренней энергии газа определяется по формуле
. (1)
Из уравнения Менделеева - Клапейрона , выразим температуру:
. (2)
Подставляя в формулу (2) значения давления и объема, получим значения температуры: Т1=389 К, Т2=1167 К. Из уравнения (1) DU=3,28×106 Дж.
Работа рассчитывается по формуле
при p=const А1=0,404×106 Дж;
DU - ?
A - ?
Q - ?
V=const А2=0.
Полная работа, совершенная газом: А=А1+А2=0,404×106 Дж.
получаем теплоту, переданную газу: Q=3,68×106 Дж.
График процесса изображен на рисунке: p
p2 3
p1 1 2
v
v1 v2
Ответ: DU=3,28×106 Дж; А=0,404×106 Дж; Q=3,68×106 Дж.
Задача 7 Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно нагретым воздухом, взятом при начальном давлении 7×105 Па и температуре 127 0С. Начальный объем воздуха 2×10-3 м3. После первого изотермического расширения воздух занял объем 5 л, после адиабатического расширения объем стал равен 8 л. Найти координаты пересечения изотерм и адиабат.
p1 = 7× 105 Па
T1 = 400К
V1 = 2 × 10-3 м3
T – const
V2 = 5 × 10-3 м3
Q – const
V3 = 8 × 10-3 м3
Уравнение изотермы АВ имеет ви . (1)
V1-?, р1-?,
V2-?, р2-?,
V3-?, р3-?,
V4-?, р4-?.
Для точки А , откуда , =0,427 молей, тогда уравнение (1) примет вид:
pV = 0,427×8,31×400=1420 Дж.
Для точки В =284×103 Па.
, откуда =1,44×105 Па.
Уравнение изотермы DС =1,44×1,05×105×8×10-3=1170 Дж. Отсюда Т2=330 К.
Так как координаты точек Д и А должны удовлетворять уравнению адиабаты, то
отсюда V4=3,22×10-3 м3 и 105 = 3,6×105 Па.
Таким образом: V1=2×10-3 м3, р1=7×105 Па,
V2=5×10-3 м3, р2=2,8×105 Па,
V3=8×10-3 м3, р3=1,44×105 Па,
V4=3,22×10-3 м3, р4=3,6×105 Па.
Задача 8 Найти изменение энтропии при нагревании воды массой M=100 г от температуры t1=0 0С до температуры t2=100 0С и последующем превращении воды в пар той же температуры.
M = 0,1 кг
t1 = 0 °C
t2 = 100°C
Найдем отдельно изменение энтропии DS/ при нагревании воды и изменение энтропии DS// при превращении воды в пар. Полное изменение энтропии выразится суммой DS/ и DS//.
Изменение энтропии выражается формулой
DS - ?
(1)
При бесконечно малом изменении dT температуры нагреваемого тела затрачивается количество теплоты dQ=McdT, где M – масса тела, с – его удельная теплоемкость. Подставив dQ в формулу (1), получим формулу для вычисления изменения энтропии при нагревании воды:
;
DS/=132 Дж/К.
При вычислении по формуле (1) изменения энтропии во время превращения воды в пар той же температуры T = const, и тогда
, (2)
где Q – количество теплоты, переданное при превращении нагретой воды в пар той же температуры.
Подставив в равенство (2) выражение количества теплоты , где
l - удельная теплота парообразования, получим:
DS//=605 Дж/К.
Полное изменение энтропии при нагревании и последующем превращении ее в пар DS=DS/+DS//=737 Дж/К.
Ответ: DS/=132 Дж/К; DS//=605 Дж/К.
Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения
1. Сосуд емкостью V=10-2 м3 разделен пополам полунепроницаемой перегородкой. В одну половину сосуда введено 2 г водорода и 4 г гелия. Через перегородку может диффундировать только водород. Во время процесса поддерживается температура 100 0С. Считая газы идеальными, определить установившееся давление в обеих частях сосуда.
Ответ: p=9,6×105 Па
2. Полагая температуру воздуха и ускорение свободного падения не зависящими от высоты, определить, на какой высоте h над уровнем моря плотность воздуха меньше своего значения на уровне моря в 2 раза. Температура воздуха t=0 0С.
Ответ: h=5,5 км
3. Температура окиси азота NO Т=300 К. Определить долю молекул, скорость которых находится в интервале от u1=820 м/с до u2=830 м/с.
Ответ: DN/N=0,4 %
4. В баллоне вместимостью 10 дм3 находится гелий массой 2 г. Определить среднюю длину свободного пробега молекул гелия.
Ответ: l=0,21×10-6 м
5. Вычислить удельные теплоемкости неона и водорода при постоянном объеме сv и давлении сp, принимая эти газы за идеальные.
Ответ: сv1=624, cp1=1,04×103 , cv2=10,4×103, cp2=14,6×103 .
6. Двухатомному газу сообщено 500 кал тепла. При этом газ расширяется при постоянном давлении. Найти работу расширения газа.
Ответ: А=600
7. Идеальная тепловая машина работает по циклу Карно. При этом 80 % тепла, получаемого от нагревателя, передается холодильнику. Количество теплоты, получаемое от нагревателя, равно 6,3×106 . Найти КПД цикла.
Ответ: h=20 %
8. Определить изменение DS энтропии при изотермическом расширении кислорода массой m=10 г от объема V1=25 л до объема V2=100 л.
Ответ: DS=3,6
201. Масса m каждой из пылинок, взвешенных в воздухе, равна 1×10-18 г. Отношение концентрации пылинок n1 на высоте h1=1 м к их концентрации n0 на высоте h0=0 равно 0,787. Температура воздуха Т=300 К. Найти по этим данным значение постоянной Авогадро NА.
202. На сколько уменьшится атмосферное давление р=100 кПа при подъеме наблюдателя над поверхностью Земли на высоту h=100 м? Считать, что температура воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой.
203. Пылинки, взвешенные в воздухе, имеют массу m=10-18 г. Во сколько раз уменьшится их концентрация n при увеличении высоты на Dh=10 м? Температура воздуха Т=300 К.
204. На какой высоте давление воздуха составляет 75 % от давления на уровне моря? Температуру считать постоянной и равной 0 0С.
205. Пассажирский самолет совершает полеты на высоте 8300 м. Чтобы не снабжать пассажиров кислородными масками, в кабинах при помощи компрессора поддерживается давление, соответствующее высоте 2700 м. Найти разность давлений внутри и снаружи кабины. Среднюю температуру наружного воздуха считать равной 0 0С.
206. На какой высоте плотность воздуха составляет 50 % от плотности его на уровне моря. Температуру считать постоянной и равной 0 0С.
207. На какой высоте давление воздуха составляет 55 % от давления на уровне моря? Температуру считать постоянной и равной 0 0С.
208. На поверхности Земли барометр показывает 101 кПа. Каково будет давление при подъеме барометра на высоту 540 м. Температуру считать одинаковой и равной 7 0С.
209. Определить высоту горы, если давление на ее вершине равно половине давления на уровне моря. Температура всюду одинакова и равна 0 0С.
210. Пассажирский самолет совершает полеты на высоте 8300 м. Чтобы не снабжать пассажиров кислородными масками, в кабинах при помощи компрессора поддерживается давление, соответствующее высоте 2700 м. Найти, во сколько раз плотность r2 воздуха в кабине больше плотности r1 воздуха вне ее, если температура наружного воздуха t1= -20 0С, а температура воздуха в кабине t2=+20 0С.
211. Зная функцию распределения молекул по скорости, вывести формулу наиболее вероятной скорости.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
