В работах С.А. Калоерова, Ю.С. Антонова [49] – [51] предложена методика решения задач теплопроводности и термоупругости для конечных и бесконечных многосвязных анизотропных пластинок c отверстиями и трещинами. Решение построено на использовании теории функции комплексного переменного и удовлетворении граничным условиям методом наименьших квадратов.
1 Термодинамические основы термоупругости
1.1 Термоупругость
Основное уравнение термоупругости. При термическом расширении изотропное тело деформируется таким образом, что компоненты деформации отнесенные к системе прямоугольных осей х1 x2 x3 определяются выражением (1.1.1)
, (1.1.1)
Допускается, что достаточно мало для того, чтобы термические свойства тела оставались постоянными на том отрезке времени, который нас интересует. Суммарная деформация тела выражается через компоненты вектора перемещения u1 следующим уравнением:
(1.1.2)
где обозначает частную производную. Эта суммарная деформация состоит из термической деформации и упругой деформации, компоненты которой определяются соотношением (1.1.1)
, (1.1.3)
где τij — компоненты тензора напряжений; величина
θ = τij (1.1.4)
является суммой главных напряжений; λ и μ — упругие постоянные Ламе для тела. Подставляя соотношения (1.1.1) — (1.1.3) — в уравнение
получим тензорное уравнение
, (1.1.5)
Решая это тензорное уравнение относительно компонентов тензора напряжений, найдем
(1.1.6)
где
(1.1.7)
обозначает расширение тела и
γ = α(3λ + 2μ). (1.1.8)
Физический закон, выраженный тензорным соотношением (1.1.6), называется законом Дюамеля — Неймана
Термодинамическими переменными, описывающими состояние упругого тела, являются компоненты деформации (1.1.2) и абсолютная температура Т +.
Используя методы термодинамики обратимых процессов, Био показал, что энтропия s единицы объема тела определяется соотношением
(1.1.9)
где аддитивная постоянная, входящая в определение энтропии, была выбрана таким образом, что энтропия была равна нулю в начальном состоянии. В этом уравнении ρ — плотность тела, с — удельная теплоемкость единицы массы (принимаемая независимой от температуры вблизи равновесной температуры T), и γ определяется формулой (1.1.8). Если мало по сравнению с Т то соотношение (1.1.9) сводится к простому выражению для энтропии единицы объема
(1.1.10)
Таким образом, количество тепла, поглощаемое единицей объема в процессе малых деформаций и малых изменении температуры, определяется формулой
h=Ts = ρс+ γTΔ (1.1.11)
Из теории теплопроводности в твердых телах известно, что изменение температуры внутри изотропного тела подчиняется уравнению
(1.1.12)
k — коэффициент теплопроводности тела;
q — количество тепла;
выделяемого в единице объема тела. Подставляя выражение (1.1.10) в соотношение (1.1.11), найдем
(1.1.13)
Если ввести коэффициент температуропроводности
,
то последнее уравнение можно записать в форме
(1.1.14) где
Для того чтобы дополнить систему основных уравнений, присоединим к ней уравнения движения в виде
, (1.1.15)
где (F1 , F2 ,F3) обозначает массовую силу в точке (х1, х2 , х3) и — i-й компонент ускорения д2и/дt2 бес конечно малого элемента, сосредоточенного около этой точки.
Система шестнадцати уравнений (1.1.2), (1.1.6), (1.1.14) и (1.1.15) вместе с соответствующими граничными условиями достаточна для определения изменения температуры и компонентой напряжений и перемещения в случае» когда источники тепла и массовые силы заданы.
Безразмерная форма уравнений. Основные уравнения термоупругости удобно записать в безразмерной форме. Если характерный линейный размер принять в качестве единицы длины» время τ в качестве единицы времени, температуру начала отсчета T за единицу измерения температуры и модуль сдвига μ принять в качестве единицы измерения, напряжения то в результате найдем, что уравнения (1.1.6), (1.1.14) и (1.1.15) примут соответственно следующую безразмерную форму:
, (1.1.16)
(1.1.17)
обозначают новые функции и
, , , .
При определении а величина была заменена скоростью с2 распространения S-волн в теле. Величинa представляет квадрат отношения скорости Р – волн к скорости S – воли. В зависимости от коэффициента Пуассона величину β можно записать в виде .
Задачи об установившихся состояниях. Если массовые силы и источники тепла не зависят от времени и если поверхностные нагрузки являются статическими нагрузками, то тогда основная система уравнений (1.1.16), (1.1.14) и (1.1.15) примет вид
(1.1.19)
, (1.1.20)
(1.1.21)
Подставив в уравнение (1.1.19) модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона υ, получим следующее уравнение:
(1.1.22)
Для упругого тела, свободного от массовых сил, полагая Fi = 0 и используя формулу
найдем, подставляя соотношение (1.1.22) в уравнение (1.1.21):
(1.1.23)
Для того чтобы решить это уравнение, Гудьер вводит термоупругий потенциал φ, с помощью которого вектор перемещения u1, u2, и3 определяется в виде
(1.1.24)
Подставляя выражение (1.1.24) в уравнение (1.1.23), получаем условие, накладываемое на φ:
Таким образом, если выбрать φ так, что
, (1.1.25)
то вектор перемещения, определяемый уравнением (1.1.24), является решением уравнений, описывающих установившийся процесс термоупругости.Уравнение (1.1.25) в точности соответствует уравнению Пуассона и хорошо известно, что частный интеграл этого уравнения имеет вид
(1.1.26)
где интегрирование распространяется на все тело.
Напряженное и деформированное состояния, представляемые частным интегралом (1.1.26), требуют не только заданного распределения температуры, но также и определенных поверхностных нагрузок, которые могут быть вычислены посредством выражения (1.1.22) и условии равновесия на границе. Для полного решения задачи требуется лишь определить распределение дополнительных напряжениий, обусловленных равными и прямо противоположными нагрузками на границе, что представляет собой задачу теории упругости при заданных нагрузках на границе. Тот факт, что тело нагрето, не играет роли до тех пор, пока упругие постоянные остаются неизменными. Интегралы типа (1.1.26) были использованы Борхардтом при общем анализе теории термоупругости и при решении некоторых частных задач в случае несимметричных распределений температуры в теле со сферическими или цилиндрическими границами. Распределение напряжений, обусловленное специальным распределением температуры в бесконечном и полубесконечном телах, обсуждалось различными авторами. Имеется очень мало точных решений даже этих уравнений, описывающих установившееся состояние, а те, которые имеются, относятся к сферам и цилиндрам, однако в главе 14 книги Тимошенко и Гудиера «Theory of Elasticity» (New York, 1951) рассматривается несколько приближенных решений инженерных задач, касающихся термических напряжений в пластинах и стержнях
1.2 Построение задачи термоупругости
В общем случае постановка задачи термоупругости заключается в следующем. Необходимо при заданных механических и тепловых воздействиях определить 16 функций координат хR и времени t: шесть компонентов тензора напряжения шесть компонентов тензора деформации ε - три компонента вектора перемещения и температуру Т, удовлетворяющих: трем уравнениям движения (1.2.1); шести соотношениям между напряжениями и деформациями (1.2.2) или (1.2.3); шести соотношениям между деформациями и перемещениями (1.2.4); уравнению теплопроводности (1.2.5), при определенных начальных и граничных условиях.
(1.2.1)
ρ – плотность,
– силы инерции.
(1.2.2)
где λ и μ – коэффициенты Ляме при изотермической деформации.
(1.2.3)
Е – изотермический модуль упругости;
- коэффициент Пуассона.
(1.2.4)
где – вектор перемещения.
(1.2.5)
S – плотность энергии;
– коэффициент теплопроводности;
– удельная мощность (количество тепла, произведенного за единицу времени в единицу объема) источников тепла.
Начальные условия обычно задаются в виде распределений компонентов вектора перемещения , их скоростей и температуры Т во всей области V упругого тела:
, , при t = 0. (1.2.6)
Здесь и дальше обозначения gi(xR), hi(xR), f(xR) означают функции всех координат хR (R — 1, 2, 3) в рассматриваемой области.
Граничные условия на поверхности Ω упругого тела, ограничивающей его объем V, складываются из механических и тепловых условий.
Механические граничные условия задаются либо в перемещениях
при t >0, (1.2.7)
либо в напряжениях
при t >0, (1.2.8)
— компоненты вектора поверхностной силы;
пj — компоненты единичного вектора внешней нормали к поверхности Ω.
В качестве теплового граничного условия применяется одно из граничных условий теории теплопроводности. Механические и тепловые граничные условия могут быть также смешанными. На одной части поверхности механические граничные условия могут быть заданы в перемещениях (1.2.7), а на другой — в напряжениях (1.2.8). Тепловое граничное условие на одной части поверхности тела задается, например, температурой, а на другой — законом конвективного теплообмена с окружающей средой.
Система уравнений (1.2.1), (1.2.2) или (1.2.3), (1.2.4) и (1.2.5) при указанных начальных граничных условиях описывает связанную нелинейную задачу термоупругости.
При << I значения упругих и термических коэффициентов и удельных теплоемкостей предполагаются постоянными, вместо уравнения (1.2.5) применяется уравнение теплопроводности (1.2.9), и связанная задача термоупругости становится линейной.
(1.2.9)
Доказано, что для области V, свободной от объемных сил и источников тепла, решение системы уравнений (1.2.1), (1.2.2), (1.2.3), (1.2.5) при начальных и граничных условиях, заданных через перемещения и температуру, является единственным. Это доказательство можно обобщить и на другие механические и тепловые воздействия и граничные условия.
Составим для этой задачи уравнения движения в перемещениях. Выражая в уравнениях (1.2.1) напряжения через деформации по формуле (1.2.2) и учитывая, что члены, содержащие εRR и T, сохраняются только при i — j, получаем
. (1.2.10)
В этом уравнении деформации заменяем перемещениями. Заменяя j немым индексом R и учитывая, что , находим
(1.2.11)
Уравнения (1.2.11) совместно с уравнением (1.2.9) при определенных начальных и граничных условиях описывают изменение в пространстве и во времени поля деформации и температурного поля. Представим эти уравнения в векторной форме:
grad div grad (1.2.12)
div (1.2.13)
где коэффициент температуропроводности.
1.3 Виды задач: связанная и несвязанная
Термоупругая деформация тела, возникающая от нестационарных механических и тепловых воздействий, сопровождается обратным эффектом — изменением его температурного поля. Задача термоупругости, в которой учитывается указанный эффект, называется связанной динамической задачей термоупругости, или связанной задачей термоупругости.
Эффекты связанности. Законы термодинамики гласят, что изменение деформаций упругого тела сопровождается изменением его температуры, при котором возникает теплопоток, обусловливающий увеличение энтропии термодинамической системы и, следовательно, термоупругое рассеяние энергии.
В металлических телах эффект связанности поля деформации и температурного поля обычно мало влияет на термическое возмущение и распределение тепловых напряжений. Но это не значит, что подобное положение сохранится и для новых материалов, обладающих большим параметром связанности.
При учете эффекта связанности устанавливаются новые качественные особенности распространения упругих волн, которые под влиянием тепловых эффектов распространяются с затуханием и дисперсией. В частности, существенно различаются решение динамической задачи термоупругости о тепловом ударе на поверхности полупространства без учета связи полей деформации и температуры и решение с учетом этой связи; в случае «несвязанного» решения разрыв напряжения αх остается неизменным, тогда как при «связанном» он с течением времени быстро уменьшается.
В работе, связанная задача термоупругости рассматривается при малом термическом возмущении, т. е. при << 1
В этом случае связанная задача становится линейной и при формулировке ее в перемещениях сводится к решению системы уравнений (1.2.12) и (1.2.13). Представления общих решений этой системы обобщают представления общих решений уравнения (1.3.30), описывающего динамическую задачу термоупругости. Известные представления решения уравнений классической теории упругости Б. Г. Галеркина и П. Ф. Папковича обобщаются на случай связанной задачи термоупругости. Применение прямых методов для решения связанных задач термоупругости в общем случае встречает большие математические затруднения; перспективной является разработка приближенных методов решения связанных задач термоупругости на основе вариационных принципов, аналогичных таковым для статических и квазистатических задач термоупругости.
Представления общего решения. Связанная задача термоупругости при малом термическом возмущении описывается системой уравнений (1.2.12) и (1.2.13) при начальных и граничных условиях.
При объемной силе
= grad П + rot (1.3.1)
известно следующее представление общего решения уравнений (1.2.12) и (1.2.13):
и =grad + rot (1.3.2)
□,
в котором скалярная Ф и векторная функции удовлетворяют уравнениям
□□; ( 1.3.3)
□ (1.3.4) где
□= □= (n= 1,2); (1.3.5)
ε — параметр связанности, имеющий значение;
с1 и с2 — скорость распространения упругой волны соответственно расширения и искажения (см. выражения (1.3.6)). При ε = 0 и П = 0 уравнение (1.3.3) на основании уравнения (1.3.31) переходит в (1.3.7)
, (1.3.6)
□ (1.3.7)
а при = 0 уравнение (1.3.4) переходит в уравнение (1.3.8) динамической задачи термоупругости.
□ (1.3.8)
Найдено также обобщение известного представления решения уравнений классической теории упругости Б. Г. Галеркина [52] (на случай связанной задачи термоупругости):
= grad + □ - grad div (1.3.9)
□
где функция и удовлетворяют уравнениям
□□□ div (1.3.10)
□□ (1.3.11)
Как и в динамической задаче термоупругости, представление (1.3.9) при отсутствии объемных сил можно преобразовать к представлению (1.3.2). Действительно, если в представление (1.3.9) и уравнение (1.3.10) внести выражения
div (1.3.12)
в которых — частное решение неоднородного уравнения (1.3.11), и - решения уравнений
□, □ (1.3.13)
Ф'— новая скалярная функция, то форма их не изменится, но вместо Ф и в представлении (1.3.9) возникают Ф' и , а в уравнении (1.3.10) Ф' и . На основании второго уравнения (1.3.13) и тождества
grad div=+ rot rot
при подстановке — rot такое представления при = 0, П = 0, X = 0 (отсутствие объемных сил) переходит в представление (1.3.2).
Вводя в представление (1.3.9) и в уравнения (1.3.10) и (1.3.11) новые функции
div, □ (1.3.14)
где r — радиус-вектор, получаем обобщение известного представления П. Ф Папковича на случай связанной задачи термоупругости (1.3.14)
grad grad; (1.3.15)
в котором функция Ф, , В0 удовлетворяют уравнениям
□□□ (1.3.16)
□, □ (1.3.17)
В случае распространения безвихревой волны (волны расширения) и отсутствия объемных сил и источников тепла представление (1.3.2) имеет вид
grad, □, (1.3.18)
где функция удовлетворяет уравнению
﴾□□﴿ = 0 (1.3.19)
Решение для функции Ф ищют в виде
= φ(x, y, z)e (1.3.20)
где р — комплексная постоянная. Подставляя это решение в (1.3.19), для φ получают уравнение
=0. (1.3.21)
которое может быть представлено в виде
, (1.3.22)(9.3.19)
Где
; (1.3.23)
Если предположить, что термоупругая связь отсутствует (ε = 0), то из уравнения (1.3.23) получают
; . (1.3.24)
Следовательно, уравнение (1.3.23) описывает распространение двух видов волн расширения, из которых один, связанный с, близок к чисто упругой волне, а другой, связанный с, сходен по своему характеру с чисто тепловой волной.
На основании уравнений (1.3.20) и (1.3.21) общее решение уравнения (1.3.19) можно представить в виде
(1.3.25)
где удовлетворяет уравнению
j=1,2. (1.3.26)
Таким образом, в рассматриваемом случае общее решение связанной термоупругой задачи на основании представления (1.3.18) и решения (1.3.25) принимает вид
grad (1.3.27)
(1.3.28)
Учитывая, что
div
и принимая во внимание формулу (1.328), получаем на основании соотношения (1.2.2) следующие выражения для напряжений:
(1.3.29)
— символ Кронекера;
ρ — плотность среды, в которой распространяется волна (1.3.26)
Задача термоупругости, описываемая двумя уравнениями:
grad div grad (Т — Т0) — 0 , (1.3.30)
(1.3.31)
называется несвязанной динамической задачей термоупругости, или просто динамической задачей термоупругости.
При существенном приращении температуры Т—Т0 коэффициенты в соотношениях (1.2.2) являются функциями Т, а следовательно, и функциями координат хR и времени t. Помня об этом и выполняя преобразования, аналогичные проведенным в п. 1.3, находим для такой задачи следующие уравнения движения в перемещениях:
. (1.3.32)
Вместо этих трех скалярных уравнений можно записать одно векторное в виде
grad div + 2 grad μ·Пε grad λ div-
(1.3.33)
где grad μ · Пε — скалярное произведение тензора деформации Пε на вектор grad μ.
Если учесть зависимость от температуры, то уравнение тепло проводности становится нелинейным.
2 Модель термоупругой среды
2.1 Понятие модели сплошной среды: простые и сложные
Дифференциальные уравнения и соотношения, выражающие законы сохранения массы, импульса, энергии и второй закон термодинамики нужны для общего случая независимо от того, какими конкретными физико-механическими свойствами обладает деформируемая среда, и в силу этого имеют универсальный характер, т.е. справедливы для любых сред. Однако при попытке математического описания движения какой-либо конкретной деформируемой среды (газообразной, жидкой или твердой) довольно легко установить, что имеющихся в распоряжении универсальных дифференциальных уравнений и соотношений не достаточно для составления замкнутой системы уравнений, которая могла бы послужить основой для последующего нахождения единственного решения и получения количественной информации о характере движения и изменения состояния деформируемой среды. При этом очевидна закономерность: количество входящих в составляемую систему уравнений неизвестных величин (характеристических функций) на 6 единиц больше имеющихся в распоряжении уравнений, где 6 — количество независимых компонент симметричных тензоров напряжений и деформаций. Например, приведенная ниже система уравнений адиабатического движения деформируемой среды включает 20 уравнений (одно уравнение неразрывности (2.1.1), три уравнения движения (2.1.2), одно уравнение энергии (2.1.3), три кинематических соотношения взаимосвязи компонент скорости и перемещения (2.1.4), шесть геометрических соотношений (2.1.5) и шесть кинематических соотношений (2.1.6) и 26 неизвестных характеристических функций (плотность, удельная внутренняя энергия, по три компоненты векторов перемещения и скорости, по шесть независимых компонент симметричных тензоров напряжений, деформаций и скоростей деформаций) [53]:
Страницы: 1, 2, 3, 4
