Ефект Доплера в класичній та релятивійській теорії
Зміст
Вступ
1. Поширення світла в ізотопних середовищах
1.1 Відбивання світла
1.2 Релятивістський ефект Доплера
1.3 Повздовжній ефект Доплера
1.4 Поперечний ефект Доплера
2. Застосування
2.1 Ефект Доплера в акустиці
2.2 Явище Доплера в оптиці
Висновок
Список використаних джерел
Крістіан Доплер (нім. Christian Doppler) народився 29 листопада 1803 року в Зальцбурге. У 1825 році закінчив Політехнічний інститут у Відні, з 1835 по 1847 рік працював в Чеському технічному університеті, з 1847 року — професор Гірської і Лісової академій в Хемніце, з 1848 року — член Віденської Академії Наук, з 1850 професор Віденського університету і директор першого в світі Фізичного інституту, створеного при Віденському університеті за його ініціативою.
Наукові інтереси Крістіана Доплера лежали в таких галузях фізики як оптика і акустика. Основні праці виконані по аберації світла, теорії мікроскопа і оптичного далекоміра, теорії кольорів і деяким іншим темам. У 1842 Доплер теоретично обґрунтував залежність частоти коливань, що сприймаються спостерігачем, від швидкості і напряму руху джерела хвиль і спостерігача відносно один одного. Це явище згодом було назване його ім'ям (ефект Доплера).
У 1848 році ефект Доплера був уточнений французьким фізиком Арманом Фізо, а в 1900 році — і експериментально перевірений А. А. Белопольським на лабораторній установці. Принцип Доплера отримав багаточисельні вживання в астрономії для вимірів швидкостей руху зірок уподовж світивши зір і їх обертання довкола осі, турбулентних потоків в сонячній фотосфері і ін., а потім і в найрізноманітніших галузях фізики і техніки (аж до радарів, використовуваних ГИБДД).
Давайте поговоримо про хвилі. Хвилі бувають різноманітні. От, наприклад, світло – це також хвиля. Така хвиля називається оптичною і її людина сприймає оком. А ще є акустичні хвилі. Це ті хвилі, які ми чуємо. Коли ми говоримо слова, ми створюємо коливання повітря, яке сприймає вухо. Є радіохвилі, якими передають інформацію радіостанції, а ми вже чуємо перетворений сигнал із радіохвилі в акустичну. Для хвиль існує явище Доплера, от саме його зараз і розглянемо.
Доплер помітив, що тон гудка потяга змінюється, коли він прибуває на станцію і, коли від’їжджає від неї. Він задав собі питання, як пов’язана висота звуку із швидкістю руху його джерела. Він посадив на потяг музикантів і попросив грати одну і ту ж ноту. Інші музиканти розмістилися попереду потяга і позаду нього на великій відстані і повинні були визначити, яку саме ноту зіграли музиканти, які їдуть на потязі. Ті, що були позаду потяга чули нижчу ноту ніж зіграли музиканти, а ті, що були попереду чули вищу ноту. Доплер перший пояснив і описав це явище. Таким чином, в повній темноті ми по звуку можемо визначити чи хтось підходить до нас, чи йде геть від нас. Із ефекту Доплера випливає цікавий результат. Коли швидкість звуку дорівнює швидкості тіла, тоді частота звуку повинна бути нескінченно великою. При цьому виникає ударна хвиля. Ясної днини ми чули грім, а коли піднімали голову, бачили в небі літак. Грім з’являється тоді, коли швидкість літака перевищує швидкість звуку і виникає ударна хвиля, що відповідає ефекту Доплера. Оскільки куля летить із швидкістю звуку, ми чуємо високочастотний звук – свист. Проте, пізно падати на землю, коли ми його почули, оскільки куля вже пролетіла.
Цей ефект був встановлений для звукової хвилі. Проте він справедливий для будь-якого типу хвиль. Наприклад, для оптичних хвиль. Коли джерело світла, наприклад зірка, летить від нас – ми бачимо червоне світло. Коли летить до нас, ми бачимо голубе світло. Цей ефект допоміг виявити подвійні зірки. Подвійні зірки обертаються одна навколо іншої. Проте в телескопі, навіть найпотужнішому, подвійна зірка нічим не відрізняється від інших одинарних зірок. Тому, щоб виявити подвійну зірку, потрібно реєструвати випромінювання, тобто оптичні хвилі. Коли обидві зіркі знаходяться на одній лінії від нас, їхнє випромінювання має, наприклад, жовтий колір. Тепер уявімо, що одна зірка наближається до нас, а інша віддаляється. Випромінювання тієї зірки, що наближається до нас, буде мати голубий відтінок, а тієї зірки, що віддаляється від нас – червоний. Отже, ефект Доплера допоміг астрономам у дослідженні зоряної карти неба.
Відомо, що майже всі туманності у Всесвіті віддаляються від нас. Це було зареєстровано астрономами, якраз із використанням ефекту Доплера. Тобто, спостерігалося зміщення випромінювання зірок у червону область спектру. Якщо б зірки летіли до нас, спостерігалося в зміщення випромінювання у голубу область спектру. Наша Сонячна система відноситься до Галактики, яку називають Чумацьким шляхом. У випромінюванні зірок, що відносяться до нашої Галактики, червоного зміщення не спостерігається. Тому відстані між зірками у нашій Галактиці незмінні, а всі інші Галактики віддаляються від нас. Ці спостереження викликали появу теорії „Великого вибуху”. Мовляв, мільярд років назад Всесвіту не булỏ. Булỏ щось схоже на зернину з величезною густиною речовини. Ця зернина раптом вибухнула і тепер її уламки Галактиками розлітаються у Всесвіті. Ця теорія набула широкого розголосу. Проте Ейнштейн показав, що червоне зміщення випромінювання зірок, тобто променів або оптичної хвилі, може спостерігатися під дією гравітації планет, сонячних систем і т.д. Це підтвердили дослідження радіохвиль, які посилав американський космічний апарат „Вояжер-1”, коли він досягнув планети-гіганта Сатурн. Радіохвиля, яку він надсилав від Сатурна, зменшувала свою частоту, що підтверджує теорію Ейнштейна. Тому теорія „Великого вибуху” досить сумнівна, проте надзвичайно популярна. Дослідження космосу тільки розпочалися і не вияснених питань ще дуже багато.
Обладнання: набір по геометричній оптиці, оптична шайба, випрямляч ВС-24 або ВС 4-12.
Приступаючи до демонстрації дослідів з використанням оптичної шайби, слід відрегулювати освітлення екрана. Необхідно добитись такого положення освітлювача, щоб по всій довжині екрана проходили яскраві і чітко видимі смужки світла щоб при обертанні освітлювача навколо шайби промені не затемнювались.
Освітлювач (Рис.1 ) складається з циліндричного корпуса 1, з одного боку якого надіта оправа патрону 2 з електричною лампою 3 та клемами 4 для підключення до джерела струму.
Рис. 1
Оправа з патроном обертається на корпусі, що дозволяє правильно встановити освітлювач для отримання більш чіткого відбивання променів від екрана. В корпусі нерухомо закріплено конденсор 5. з переднього боку корпус закінчується камерою 6, в яку вставляється світлофільтр 7 та коробка 8 з променевим пристроєм. Коробка вільно вставляється в пази корпусу і має всередині щиток з п`ятьма щілинами 9, чотири нерухомих дзеркала 10 і чотири дзеркала 11, які можуть повертатись з ручками для їх повертання. В передній частині коробки є поворотна заслінка 12 для прикриття середнього променя. Промені світла виходячи з конденсорної лінзи проходять крізь щілини і, відбиваються від дзеркала, дають п`ять в системі S` рівняння плоскої світлової хвилі, що поширюється від джерела до приймача:
(1)
де - частота хвилі у системі S`; с – швидкість світла, однакова в усіх системах відліку; у виразі фази взято знак плюс, оскільки хвиля поширюється у напрямі, протилежному напряму осі Ox`.
Згідно з принципом відносності в системі S рівняння розглядуваної хвилі матиме аналогічний формулі (1) вигляд:
, (2)
де - частота хвилі, яку фіксує приймач у системі S .
Але ж від рівняння (1) можна перейти до рівняння (2), якщо за формулами перетворення Лоренца виразити координати і через і t, тоді дістанемо:
,
або в іншому вигляді
, (3)
Зіставивши рівняння (2) і (3), знаходимо:
.
Переходячи від циклічних до звичайних частот і позначаючи частоту v` в системі джерел через v0, дістанемо формулу відображення релятивійського ефекту Доплера:
Нехай у системі К поширюється плоска електромагнітна хвиля, що характеризується векторами поля:
; (4)
При переході до системи К` вектори поля можуть змінитися, але фаза залишиться незмінною, оскільки є скаляром, тобто не залежить від системи відліку.
Незалежність фази від системи відліку означає: якщо в системі К визначити для певних x, у, z, t фазу плоскої електромагнітної хвилі , то при переході до системи К`, за допомогою перетворень Лоренца, величина фази у цій системі для відповідних x`, у`, z`, t` матимемо те саме значення.
Якщо ввести чотиривимірний вектор , то фаза може бути записана у вигляді:
=.
Звідси видно, що величина є чотиривимірним вектором, бо - добуток на вектор є скаляром як фаза хвилі, і тому може розглядатися як скалярний добуток двох чотиривимірних векторів і .
Векторназивається чотиривимірним хвильовим вектором. Оскільки є чотиривимірним вектором, то при переході від однієї системи відліку до іншої він змінюється за формулами перетворень Лоренца. Запишемо формули перетворення для чотиривимірного вектора :
; ; (5)
; .
Компоненти вектора у тривимірному записі мають вигляд:
;
Тут і далі - кути між осями Х`, Y`, Z` відповідно і хвильовим вектором k`. Рівняння (5) тепер матимуть вигляд:
,(6)
Поділивши перше рівняння (6) на друге, дістанемо:
. (7)
З другого і третього рівнянь (5) знайдемо аналогічно:
де - кути між вектором k і відповідно осями Х, Y, Z.
З цих рівнянь,підставляючи в них з (6), знайдемо:
. (8)
З рівнянь (6)-(8) видно, як змінюються напрям поширення і частота електромагнітних хвиль при переході від системи К до К`.
З рівнянь (7) і (8) випливає існування аберації світла при спостереженні зірок. Нехай зірка нерухома в системі К. Якщо промінь від неї перпендикулярний до напряму руху Землі і лежить у площині ОХУ, то
; ; .
Підставляючи ці значення у (7) і (8), матимемо для Землі (систем К`), рухається відносно зірки з швидкістю v:
Оскільки то в системі К` промінь зірки також ледить у площині О Х`Y`. Далі матимемо:
Звідки знайдемо:
Для малих (коли <<c ) дістанемо відомий вираз:
Тут - кут, що визначає величину аберації зірок.
З другої формули (5) визначимо :
. (9)
Отже, якщо тіло випромінює хвилі з частотою , рухається з швидкість , то в нерухомій системі К частота, згідно з (9), буде . Це явище буде ефектом Доплера. На відміну від класичної теорії, релятивістський ефект Доплера існує і при (поперечний ефект Доплера).
Світлова хвиля розповсюджується уподовж напрямку відносної швидкості руху приймача , тобто =1. Тоді, згідно маємо:
(10)
Це явище має назву повздовжній ефект Доплера. При малих () відносних швидкостях , розкладаючи (10) в ряд за степенями і нехтуючи членом порядку 2, отримаємо:
(11)
З (11) можна обрахувати доплерівське зміщення частоти :
(12)
Або, зважаючи на те, що , то :
(13)
Як випливає з (12) і (13), при видаленні джерела і приймача один від одного, тобто при їх позитивно відносній швидкості відбувається зрушення в область довших хвиль , що називається червоним зрушенням. При зближенні джерела і приймача світла тобто відбувається так зване фіолетове зміщення.
Досліди Білопольського і Голіцина по виявленню подовжнього ефекту Доплера. Подовжній ефект Доплера був вперше виявлений в лабораторних умовах російським астрофізиком А. А. Білопольським в 1898 р. Остаточні результати Білопольського були опубліковані в 1900 р. Аналогічні досліди були повторені Б. Б. Голіциним в 1907 р. Схема досвіду Білопольського представлена на (рис. 2)
Рис. 2
В середині між двох дзеркал А і В, здатних переміщатися один відносно одного, поміщено джерело світла S. Багатократне віддзеркалення світла від рухомих дзеркал дозволяє збільшити швидкість руху джерела. Позначимо відстань від джерела S до одного з дзеркал А і В через х. Тоді відстані від джерела до його першого, другого, j-го зображення відповідно будуть:
SS' = 2x, SS" = 4х ..., SSij = 2jx.
Очевидно, що при русі дзеркал із швидкістю нормально до їх поверхонь рухаються і всі зображення. Тоді для швидкості j-го зображення маємо:
звідки видно значне підвищення швидкості спостережуваного джерела, яким є j-е зображення дійсного джерела. У дослідах Білопольського = 670 м/с (в Голіцина від 250 до 350 м/с). Як спектральний прилад, реєструючий зсув частоти, Білопольським був використаний трьохпризматичний спектрограф, Голіциним — ешелон Майкельсона. У запропонованій схемі Белопольського дзеркала були радіальними лопастями двох коліс (рис. 3), що приводяться в обертання за допомогою моторів, що забезпечують строго постійну швидкість.
Рис. 3
Дослідимо як змінюються проміжки часу в системах, зв’язаних з рухомими тілами.
Нехай у системах К` і К є два однакових годинники А` і А, які в певний момент часу містяться в тій самій точці (мал. 2); таким годинником може бути не лише точний механізм, а й будь-який періодичний процес. У цей момент годинник А в системі К показуватиме час t1, а годинник А` в системі К` - час t`1. Через деякий час годинник А` в системі К` показуватиме час t`2. Але тепер А` не міститься в одній точці з А (внаслідок руху системи К`). І для порівняння часу, який він показує, з часом у системі К треба скористатися іншим годинником В, що міститься в тій самій точці з В` у момент t`2. Годинник В покаже в цей момент якийсь час t2. Звичайно, годинники А і В синхронізовані і показують однаковий час.
Між двома моментами в системі К` минув час Т = t`2 - t`1, а в системі К – час Т= t2 - t1. Користуючись перетвореннями Лоренца (14)
(14)
і враховуючи, що годинник А` перебуває при обох вимірюваннях у точці з тією самою координатою x`, матимемо:
; ,,(15)
Тут Т0 має зміст проміжку часу в системі, у якій годинник А` нерухомий;
Цей час звичайно називають Власним часом. Т – це проміжок часу у системі К, що минув між двома положеннями рухомого годинника А`.
Оскільки <1 , то з (15) випливає, що проміжок часу, виміряний у системі К, більший за проміжок часу, що його зареєструє годинник, який рухається разом із системою К`. Отже в рухомій системі К` час протікає повільніше, ніж у нерухомій К.
Слід мати на увазі, що цей результат знайдено на основі вимірювань у системі К. Якби ми порівняли хід годинника, нерухомого в К, тобто такого, що рухається відносно К`, з годинниками , нерухомими відносно К` , то прийшли б до висновку, що час у системі К протікає повільніше, ніж у К`. Але суперечності тут немає, бо результати, знайдені при цих міркуваннях, виведені різними шляхами. У першому випадку ми порівнювали покази годинника у системі К` з показами двох годинників у системі К, а в другому, навпаки, покази одного годинника в системі К - з двома годинниками в системі К`
Результати , які тут знайдено, різко відрізняються від відомих у класичній механіці.
У класичній механіці розміри тіл при їх русі не змінюються, перебіг часу не залежить від руху тіл. Як ми бачили, в торії відносності висновки зовсім інші. Щоб зберегти старі уявлення, часто зустрічаються твердження про те, що при спостереженні рухомих тіл спостерігачеві «здається», що тіла скорочуються в напрямі свого руху, «здається», що в рухомих системах час протікає повільніше, тощо. Ці твердження неправильні. Явища, що ми їх розглянули, є реальними, вони залежать не від того, що здається спостерігачеві, а лише від стану досліджуваних тіл.
Слід зауважити, що описані явища стають помітними лише при швидкостях руху, близьких до швидкості світла. Такі швидкості зустрічаються в земних умовах при русі елементарних частинок. Саме тут і були знайдені переконливі докази реальності уповільнення часу в рухомій системі відліку.
Наприклад, при поширенні в атмосфері космічних променів у них внаслідок певних взаємодій виникають - і - мезони - заряджені елементарні частинки, що мають масу 207 мас електрона; - мезони - нестабільні частинки, вони розпадаються. При спостереженнях повільних - мезонів було встановлено, що час їх життя становить величину порядка Т02,2*10-6сек. Проте - мезони, що утворюються космічними променями, пролітають з швидкість vc відстань порядку 20 км, що відповідає часові життя:
Тсек0,7*10-4сек.
Отже, в системі відліку, зв’язаній із Землею (її часто називають лабораторною системою), час життя швидких - мезонів значно більший від Т0. Цей факт можна пояснити, якщо врахувати, що в системі відліку, зв’язаній з рухомим мезоном, час протікає повільніше, ніж у лабораторній системі, згідно (15).
Іншим доказом існування уповільненого часу в рухомій системі відліку є існування так званого поперечного ефекту Доплера. Відомо, що коли рухоме тіло випромінює хвилі (акустичні або електромагнітні), то у фіксованій точці, до якої наближається тіло, спостерігається збільшення сатоти, а в точці, від якої віддаляється тіло, - зменшення частоти. З класичної теорії відомо, що для довільного напряму спостереження з фіксованої точки ефект Допплера визначається за формулою:
, (16)
де v – частота, що спостерігається, v0 - частота у системі, зв’язаній з джерелом, - швидкість руху джерела, c – швидкість поширення хвиль, - кут між напрямом руху джерела і напрямом спостереження. У випадку, коли напрям спостереження перпендикулярний до напрямку руху джерела хвиль, = і з (16) випливає, що v=v0, тобто ефект Доплера не спостерігається.
У теорії відносності це не так. Справді, з формули (16) випливає, що в цьому випадку:
v = v0, (17)
бо якщо Т- період коливань, то 1/Т = v. Формула (17) описує релятивістський, так званий поперечний, ефект Доплера.
Для довільного напрямку спостереження релятивістська формула для зміни частоти v, яка враховує поперечний ефект Доплера має вигляд:
Існування поперечного ефекту Доплера було підтверджено в дослідах Айвсв і Стілуелла. У цих дослідах спостерігалось випромінювання моно енергетичного пучка іонізованих атомів водню для фіксованого значення кута . Величина зміщення спектральної лінії НВ при спостереженнях з високою точністю збігалася з теоретично обчисленою за формулою
(13). Це доводить, що в системі відліку, зв’язаний з рухомими іонами, час протікає повільніше, ніж у системі, зв’язаній з лабораторією.
Цим відкриттям Доплер зробив великий внесок в розвиток науки та техніки, зокрема це:
· Доплерівський радар - радар, який вимірює зміну частоти сигналу відображеного від об’єкта. За зміною частоти обраховується радіальна складова швидкості об’єкта(проекція швидкості на пряму, яка проходить через об’єкт і радар). Доплерівські радари широко застосовуються в різних областях: для визначення швидкості літаючих апаратів, кораблів, автомобілів, гідро метеорів (наприклад, хмар), морських і річкових течій, а також інших об’єктів.
Страницы: 1, 2
