(21)
Основная задача плановых расчетов с помощью этой модели состоит в том, чтобы при заданном векторе Y0 = () и имеющихся трудовых ресурсах L найти вектор необходимых объемов производства X = (xj). Покажем, что эту задачу можно представить в виде задачи линейного программирования:
(22)
Эта задача отличается от (21) только тем, что допускается получение конечной продукции сверх заданных минимальных объемов, а затраты трудовых ресурсов минимизируются. Очевидно, что реальным экономическим условиям отвечают только такие решения X* = (x*), при которых .
Задаче (22) соответствует двойственная задача, с помощью которой находятся оптимальные оценки продукции :
(23)
Оптимальный план X* задачи (22) характеризуется следующими свойствами:
· он единственный;
· если Y0 > 0 (или Y0 ≥ 0 и А – неразложимая матрица), то Х* > 0;
· балансы производства и распределения продукции выполняются строго как равенства, т. е. излишки конечной продукции не производятся;
· оптимальный план X* не зависит от коэффициентов целевой функции tJ ≥ 0.
На рис. 1 видно, что оптимальный план всегда является вершиной «клюва» при любых допустимых наклонах целевой функции. Обе задачи (и прямая, и двойственная) всегда имеют единственное решение, если матрица А продуктивна и Y0 ≥ 0. При этом решение прямой оптимизационной задачи сводится к решению системы уравнений и поэтому оно не зависит от значений коэффициентов минимизируемой функции. Решение двойственной задачи находится из системы уравнений и поэтому оно не зависит от коэффициентов минимизируемой функции. При этом оптимальные оценки продукции равны коэффициентам полных трудовых затрат.
Равенство функционалов прямой и двойственной задачи имеет место при любых положительных значениях tj и . Оно означает, что суммарная оценка всей конечной продукции равна сумме трудовых затрат в народном хозяйстве.
Оптимизационная модель межотраслевого баланса продукции и производственных мощностей.
При анализе возможностей использования модели межотраслевого баланса в планировании отмечалось, что при краткосрочном планировании наиболее существенными ограничениями роста производства являются наличные производственные мощности.
Решение модели должно удовлетворять условиям xj ≤ Nj, где Nj – максимально возможный выход продукции j с производственных мощностей планируемого года. Так же, как и в § 1, включим в модель условия оптимизации конечной продукции (27), обозначая вектор ассортиментных коэффициентов прироста конечной продукции, а вектор заданных объемов конечной продукции Q = (qi).
В векторно-матричных обозначениях модель имеет вид:,
(24)
Решение модели существует, если значения компонент вектора Q заданы не слишком большими. Оптимальный план обращает первую группу условий строго в равенства (невыгодно производить сверхкомплектные излишки конечной продукции). Поэтому в дальнейшем анализе исходим из того, что (Е – А) X – = Q, откуда
(25)
Поскольку , то при условие Х ≥ 0 всегда выполняется. Вследствие этого задача сокращается:
Вектор представляет собой коэффициенты полных потребностей в продукции для получения одного комплекта конечной продукции; есть вектор максимально возможных объемов продукции для получения переменной части конечной продукции. Очевидно, что
(26)
Определив , находим X* = β+ (E – A)–1Q.
Таким образом, определяется «узким» местом в системе производственных мощностей. Как правило, мощность только одного вида продукции будет использована полностью. Оптимальная оценка мощности по этому виду продукции (k) равна .
Выявление дефицитной мощности служит сигналом для ее максимального расширения в планируемом году за счет концентрации строительства на пусковых объектах, дополнительных поставок оборудования, изменения специализации соответствующих предприятий и режима их работы (сменности) и т. д.
Для определения программы первоочередных мероприятий по расширению производственных мощностей целесообразно упорядочить мощности по их дефицитности.
Для каждого вида мощности рассчитаем показатель , характеризующий максимальное число комплектов конечной продукции, которое можно получить с мощности вида j при условии неограниченности других мощностей. Упорядочив ряд чисел , начиная с , получим последовательность мощностей, упорядоченную по степени их дефицитности. При новой нумерации разности покажут прирост числа комплектов конечной продукции после «расшивки» k-го «узкого» места в системе производственных мощностей.
По модели (24) можно проводить многовариантные расчеты, показывающие влияние изменения параметров аij,, Nj на объемы производства и конечной продукции. В результате таких расчетов выявляется группа устойчиво дефицитных мощностей, на расширение которых ресурсы должны направляться в первую очередь. Важным направлением развития модели является непосредственный учет в ней элементов случайности и неопределенности. Разработана и экспериментально апробирована модель, в которой производственные мощности Ni рассматриваются как случайные независимые величины.
Модели с ограничениями по общим ресурсам.
Рассмотрим модель, в которой балансы производства и распределения продукции дополняются ограничениями по общим невоспроизводимым ресурсам:
(27)
Подставляя (25) в ограничения по общим ресурсам, получаем
или
(28)
где = (s) = (E – А) –1 – вектор полных затрат ресурсов на один комплект прироста конечной продукции, – вектор ресурсов, которые могут использоваться для получения переменной части конечной продукции.
Из (28) следует:
(29)
Максимальное число комплектов достигается, как правило, при полном использовании только одного ресурса (k). Тогда только оценка этого ресурса будет положительна: , a оптимальные оценки всех видов продукции будут пропорциональны коэффициентам полных затрат дефицитного ресурса: . Если же в оптимальном плане используются полностью несколько ресурсов, то система оптимальных оценок ресурсов и продуктов будет неединственной.
Полное использование только одного вида ресурсов (или наличие только одного «узкого» места) как типичное свойство оптимального решения не обязательно связано с условиями максимизации конечной продукции в заданном ассортименте. Для сравнения рассмотрим модель, в которой условия максимизации переменной части конечной продукции заданы в виде ЦФП:
(30)
Выражая X через Y, приходим к сокращенной модели:
(31)
где F = f (Е – А) –1 – матрица коэффициентов полных затрат ресурсов, .
Оптимальное решение этой модели всегда существует и является единственным. Оптимальный план Y* есть точка касания наиболее удаленной от начала координат поверхности безразличия и выпуклого многогранника, образованного условиями . Если эта поверхность безразличия касается вершины многогранника, то это означает полное использование нескольких ресурсов. Очевидно, что в случае применения ЦФП вероятность того, что точкой оптимума будет вершина многогранника, выше, чем в случае применения ассортиментного критерия. Однако вполне возможно, что максимум u(Y) достигается на одной из граней многогранника, т. е. при полном использовании только одного ресурса.
Таким образом, общим свойством рассмотренных в этом параграфе моделей является то, что оптимальный план чаще всего достигается при полном использовании только одного ресурса. А это означает, что только один вид ресурсов влияет на формирование оптимального решения. Данное свойство не адекватно экономической реальности; оно обусловлено недостатком моделей.
В моделях (24), (27), (30) почти отсутствуют возможности маневрирования ресурсами, имеющими различную дефицитность. По каждому виду продукции задается только один производственный способ, а поэтому технология производства не реагирует на выявляющиеся в процессе оптимизации соотношения наличия ресурсов и потребностей в них. Благодаря корректировке исходных данных на основе анализа оптимальных решений этот недостаток можно преодолевать лишь отчасти.
Напрашивается вывод о том, что оптимизационные модели народного хозяйства должны включать условия выбора между различными способами- производства одноименной продукции.
§3. ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МЕЖОТРАСЛЕВЫЕ МОДЕЛИ С ПРОИЗВОДСТВЕННЫМИ СПОСОБАМИ
Первый вариант модели (минимизация затрат труда на производство заданной конечной продукции).
Построим модель, представляющую собой непосредственное обобщение модели межотраслевого баланса, записанной в форме (22). В модели предусматривается возможность выбора между различными производственными способами. Пусть каждый вид продукции производится несколькими способами , где Tj= {1, ... , sj}. При этом каждым способом выпускается только один продукт. Введем новые обозначения:
– объем производства продукции j способом j;
– коэффициент прямых затрат продукции i на производство единицы продукции j способом j;
– затраты труда на единицу продукции j, производимой способом j.
Модель имеет вид:
(32)
Модель (32) всегда имеет решение, если выполняются условия, аналогичные условию продуктивности матрицы коэффициентов прямых материальных затрат модели межотраслевого баланса. Например, одно допустимое решение может быть получено, если включить в план по одному способу для каждого вида продукции, а все остальные переменные считать равными нулю. Так может быть составлено систем уравнений межотраслевого баланса производства и распределения продукции, каждая из которых имеет решение, если матрица продуктивна.
Анализ модели позволяет выявить ряд ее интересных специфических свойств.
Теорема 1. При положительном векторе конечной продукции Y0 > 0 производятся все продукты и каждый продукт производится только одним способом.
Доказательство. Напомним, что мы исходим из предположения, что оптимальный план – единственный. Введем в условия дополнительные переменные Δyi (излишки конечной продукции сверх минимально необходимых объемов ), превращающие неравенства в равенства.
В каждом i-м уравнении
положительными являются только коэффициенты при переменных Х. Но поскольку все , то и все , т. е. оптимальном плане должны производиться все виды продуктов.
Максимальное число положительных переменных в оптимальном плане равно п (числу уравнений). Следовательно, в каждой сумме переменных положительной может быть только одна переменная. Иначе говоря, в оптимальном плане каждый продукт производится только одним способом.
Следствие. Из теоремы следует, что поскольку число возможных положительных переменных исчерпывается переменными способов производства, то все Δyi в оптимальном плане равны нулю. Иными словами, оптимальный план обращает исходные неравенства строго в равенства.
Введем дополнительные обозначения: X* – оптимальный план модели (каждая его компонента есть интенсивность применения какого-то «лучшего» способа производства); A* – матрица коэффициентов материальных затрат, составленная из способов, которые вошли в оптимальный план.
Матрица А* аналогична матрице А межотраслевого баланса с той лишь разницей, что вместо средневзвешенных коэффициентов из разных способов в ней представлены коэффициенты только «лучших» способов. Матрицы A* и (Е – А*) обладают теми же экономико-математическими свойствами, что и матрицы межотраслевого баланса. Среди этих свойств отметим, в частности, существование матрицы (Е – А*)–1 ≥ 0. Элементы матрицы (Е – А*)–1 являются коэффициентами полных потребностей в выпуске продукции для получения единицы конечной продукции в оптимальном плане. Оптимальный план удовлетворяет следующей системе уравнений:
(E – A) X* = Y0 или X* = (E – A)–1Y0.
Теорема 2. Базис оптимального плана, а следовательно, и выбор «лучших» способов остаются постоянными при любых изменениях положительного вектора Y0.
Доказательство. Для того чтобы базис оптимального плана оставался неизменным при переменном векторе Y0, достаточно – в соответствии с (15),– чтобы выполнялось условие
(E – A*)–1Y0 ≥ 0.
Поскольку матрица (E – A*)–1 ≥ 0, условие (E – A*)–1Y0 ≥ 0 выполняется всегда при любом Y0 ≥ 0 и тем более при Y0 > 0.
Пусть для некоторого Y0 > 0 получено решение X*. Базис полученного решения (Е – А*) остается неизменным и тогда, когда вектор Y0 будет изменяться любым образом в положительной области (0 < Y0 < +∞). Если базис оптимального плана – неразложимая матрица, то теорема распространяется на случай Y0 ≥ 0.
Это означает, что вычислив матрицу (E – A*)–1 для одного варианта конечной продукции, можно неоднократно использовать ее для расчета производственной программы при других вариантах конечной продукции.
Из задачи, двойственной к (32), следует, что для способов, вошедших в оптимальный план , выполняются условия
Поэтому вектор оптимальных оценок продукции V* = (), характеризующих минимально необходимый прирост трудовых затрат в народном хозяйстве при увеличении конечной продукции, определяется решением системы уравнений
V* = V* A* + t* или V* = t* (A – V*)–1.
Видим, что оптимальные оценки продукции в рассматриваемой модели равны коэффициентам полных трудовых затрат, исчисленным по лучшим производственным способам для каждого вида продукции.
Следствие. Оптимальные оценки не изменяются при любых изменениях положительного вектора Y0.
При неизменных коэффициентах производственных способов оптимальные оценки меняются только при изменении базиса оптимального плана. Теорема 2 доказывает, что в модели (32) базис оптимального плана остается постоянным при любых изменениях вектора Y0 в положительной области, следовательно, не изменяются и оптимальные оценки[1].
Постоянство оценок облегчает их использование в различных планово-экономических расчетах, в частности, при корректировке вектора Y0.
Второй вариант модели (максимизация конечной продукции в заданном ассортименте при ограниченных трудовых ресурсах).
Рассмотрим другую возможную постановку межотраслевой модели с производственными способами: произвести максимальное число комплектов конечной продукции при ограниченных трудовых ресурсах:
(33)
Нетрудно установить, что модели (32) и (33) являются взаимным. В первой модели фиксируются и минимизируются затраты труда, а во второй модели максимизируются z при фиксированном ресурсе труда.
Отсюда следует, что если z0 = max z или , то в
соответствии с теоремой взаимности оптимальные планы задач совпадают, трудовые ресурсы используются полностью, а оптимальные оценки продукции пропорциональны. Сохраняются и все свойства оптимального плана и оптимальных оценок модели (32):
· в оптимальном плане производятся все продукты и каждый продукт производится только одним способом (для этого должно выполняться одно из условий: либо матрица способов неразложима, либо все );
· выбор лучших способов и оптимальные оценки не зависят от заданий по конечной продукции (ассортиментных коэффициентов);
· не производится «излишков» конечной продукции.
Отметим важное новое свойство: набор производственных способов в оптимальном плане и значения оптимальных оценок не зависят от величины имеющегося ресурса. Действительно, поскольку L есть единственная отличная от нуля компонента вектора ограничений задачи, то изменение L означает растяжение или сжатие вектора ограничений. Но такое преобразование не влияет на базис оптимального плана.
Вектор объемов производства выражается через матрицы коэффициентов полных затрат, сформированных из «лучших» способов:
Х = (Е – A*)–1αz = β*z, (34)
где β* = (Е – А*)–1α – вектор потребностей в выпуске продукции для получения одного комплекта конечной продукции.
Максимальное число комплектов z* находится из равенства t*(E – A*)–1αz = τ*z = L, откуда
(35)
где τ* = t* (Е – А*)–1α – полные трудовые затраты для получения одного комплекта конечной продукции.
Подстановка (35) в (34) дает
(36)
т. е. максимальное число комплектов и объемы производства прямо пропорциональны количеству имеющихся трудовых ресурсов. Оптимальная оценка трудовых ресурсов является постоянной величиной.
В рассматриваемой модели условия максимизации конечной продукции могут быть сформулированы так же, как в моделях (1), (24), (27). С учетом данного уточнения приходим к модели:
(37)
Отмеченные выше свойства оптимального плана и оптимальных оценок полностью сохраняются. Однако решение задачи (37) существует не всегда, так как наличных трудовых ресурсов может быть недостаточно для выполнения чрезмерно высоких заданий qi.
Варианты модели с различными условиями максимизации конечной продукции.
Из теоремы 2 следует, что изменение объемов и структуры конечной продукции (при сохранении Y ≥ 0) не оказывает никакого влияния на выбор лучших производственных способов. Это позволяет расчленить процесс оптимизационных расчетов и анализа оптимальных решений на три стадии:
· нахождение лучших производственных способов и минимальных затрат труда при заданном векторе конечной продукции на основе модели (32);
· определение объемов и структуры переменной части конечной продукции (можно использовать различные критерии и условия максимизации);
· расчет сбалансированного плана производства, обеспечивающего выпуск всей конечной продукции при ограниченных трудовых ресурсах.
В качестве примера рассмотрим модель, включающую условия максимизации переменной части конечной продукции в виде ЦФП:
Решив задачу (32) с Y0 = Q, определим матрицу А*, а также вектор оптимальных оценок продукции, равных коэффициентам полных затрат, исчисленным по лучшим производственным способам, V* = Т*, а также потребности в трудовых ресурсах для обеспечения постоянной части конечной продукции T*Q и остаток трудовых ресурсов для выпуска переменной части конечной продукции .
На второй стадии решается задача максимизации ЦФП при ограниченных трудовых ресурсах:
(38)
Решение задачи (38) дает вектор .
Следует обратить внимание на интересный результат, характеризующий соотношения предельных полезных эффектов продукции и затрат труда на ее производство. В соответствии с условиями Куна – Таккера
(39)
Таким образом, в оптимальном плане рассматриваемой модели предельные полезные эффекты используемой конечной продукции пропорциональны общественно необходимым затратам труда на производство продукции. Оптимальные оценки продукции в модели (32) равны коэффициентам полных трудовых затрат, исчисленным по лучшим производственным способам, и являются постоянными величинами. Они оказывают влияние на выбор оптимальной структуры конечной продукции (вектора ); эта структура «подбирается» так, чтобы отношения (39) выровнялись по всем используемым видам конечной продукции. Но выбор структуры конечной продукции не оказывает никакого влияния на значения оптимальных оценок продукции.
На третьей стадии расчетов по модели находим вектор объемов производства ; он будет сбалансирован с имеющимися трудовыми ресурсами.
Аналогичным образом проводятся расчеты по модели, включающей другие возможные критерии и условия максимизации конечной продукции.
Таким образом, анализировавшиеся в данном параграфе оптимизационные межотраслевые модели характеризуются двумя специфическими свойствами. Во-первых, в оптимальный план включается только по одному способу для каждого производимого вида продукции независимо от того, какое количество способов вводится в условия задачи. Во-вторых, объемы и структура используемой конечной продукции не оказывают никакого влияния на выбор производственных способов и определение общественно необходимых затрат на производство продукции.
Хотя выявленные свойства создают значительные удобства при проведении оптимизационных расчетов и анализе оптимальных решений, они не являются адекватным отражением свойств реальной экономики. Данные свойства моделей обусловлены тем, что выбор производственных способов осуществляется с позиций наиболее эффективного использования только одного ограниченного ресурса – труда. Решения, получаемые с помощью рассматриваемых моделей, должны интерпретироваться как условно-оптимальные, т. е. получаемые в предположении, что трудовые ресурсы являются единственным дефицитным ресурсом в народном хозяйстве. Эти условно-оптимальные решения должны затем корректироваться с учетом использования других ограниченных ресурсов.
§4. РАСШИРЕННЫЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МЕЖОТРАСЛЕВЫЕ МОДЕЛИ
Проведенный в § 2, 3 анализ упрощенных оптимизационных межотраслевых моделей позволяет сделать важный вывод о правилах построения оптимизационных моделей народного хозяйства. Одностороннее развитие модели (например, только увеличение числа учитываемых ресурсов или только, увеличение числа включаемых в модель производственных способов) оказывается малорезультативным, так как значительная часть вводимой в модель информации не оказывает влияния на оптимальное решение. Очевидно, конструкция модели должна быть «сбалансирована».
С учетом этого вывода дополним условия моделей с производственными способами (32), (37) ограничениями по ряду невоспроизводимых ресурсов, обозначая – затраты ресурса s на производство единицы продукции j способом ψj. Получим пару взаимных оптимизационных моделей.
Первая из них (минимизация затрат труда на производство заданной конечной продукции) является развитием модели (32):
(40)
Вторая модель (максимизация конечной продукции при ограниченных ресурсах) является обобщением модели (27) (с ограничениями по ресурсам, но только с одним производственным способом по каждому продукту) и модели (37) (с несколькими производственными способами, но только с одним ограниченным ресурсом):
(41)
Модель (41) отличается от общей линейной оптимизационной модели (1) только структурой производственных способов: в каждом способе выпускается по одному виду продукции.
Из специфических свойств простейших моделей с производственными способами в моделях (40) и (41) сохраняется только одно: в оптимальном плане все соотношения производства и распределения продукции выполняются как строгие равенства, т. е. излишки конечной продукции не производятся.
В оптимальный план моделей (40) и (41) могут входить несколько способов по каждому продукту. Если оптимальный план единственный, то число дополнительно используемых способов (сверх п) не может превышать числа учитываемых ресурсов (кроме трудовых ресурсов). Например, если в условия задачи дополнительно включается ограничение по одному ресурсу, то лишь один продукт может производиться двумя способами, а в производстве всех остальных продуктов может применяться только по одному способу. Если же в задачу включается несколько видов ресурсов, то возможности их полного использования зависят от разнообразия производственных способов, т. е. от дифференциации коэффициентов затрат на различные ресурсы (должны быть способы, различающиеся соотношениями коэффициентов трудоемкости, фондоемкости и т. д.).
Набор способов, используемых в оптимальном плане, зависит от величин rs. При этом можно выявить связь с оптимальным планом простейшей модели. Увеличение имеющихся ресурсов (кроме трудовых) повышает эффективность тех способов, которые являются «лучшими» в условиях простейшей модели.
В отличие от простейших моделей из § 3 набор производственных способов в оптимальных планах моделей (40) и (41) зависит от условий по конечной продукции. С изменением величин , a также при введении в модель других критериев и условий максимизации конечной продукции одни производственные способы заменяются в оптимальном плане другими; изменяются также и значения оптимальных оценок продукции и ресурсов. Это означает, что в расширенных оптимизационных межотраслевых моделях достаточно полно отражаются прямые и обратные связи сферы производства и сферы потребления.
Основное прикладное назначение оптимизационных межотраслевых моделей типа (40), (41) – расчеты и анализ вариантов краткосрочных (годовых) планов развития народного хозяйства. Применение для этой цели статических моделей оправдано прежде всего потому, что для ближайшего планового года производственные мощности (обеспечение основными производственными фондами) почти полностью предопределяются мощностями на начало года и состоянием заделов капитального строительства.
Иное дело в перспективном планировании. Уже при расчетах на n-летний период необходимо учитывать, что производственные мощности (основные производственные фонды) последнего года в значительной мере зависят от ввода мощностей (основных фондов) в плановом периоде. Поэтому просто фиксировать размеры мощностей (или основных фондов) для последнего года планового периода так же, как для ближайшего планового года, невозможно.
Однако статическая модель может быть приспособлена для расчетов вариантов перспективного плана. Для этого к условиям модели (40) или (41) для последнего года планового периода необходимо добавить ограничения по капиталовложениям, расходуемым на прирост продукции за весь плановый период, а множество производственных способов разделить на две группы: способы производства на мощностях, действовавших на начало планового периода, и способы производства на мощностях, введенных в плановом периоде.
Пусть – объем производства продукции j способом ψj, получаемый в последнем году с производственных мощностей, действовавших на начало планового периода;
– объем производства продукции j способом ψj, получаемый в последнем году с производственных мощностей, введенных в плановом периоде;
– максимально возможный объем производства продукции j способом ψj, который может быть получен в последнем году с производственных мощностей, действовавших на начало планового периода;
H – лимит производственных капиталовложений на весь планируемый период;
– коэффициенты затрат на производство продукции в последнем году на мощностях, действовавших к началу планового периода;
– коэффициенты затрат на производство продукции в последнем году на мощностях, введенных в плановом периоде;
– затраты капиталовложений на прирост единицы продукции j способом ψj на новых мощностях.
Тогда условия статической модели для последнего года планового периода запишутся следующим образом:
(42)
Данная модель представляет собой некоторое усложнение модели (41). Она может использоваться на предварительных этапах разработки перспективного плана и при этом должна подкрепляться обоснованиями лимита производственных капиталовложений Н и расчетами динамики развития народного хозяйства по промежуточным годам планового периода.
Значение статических оптимизационных межотраслевых моделей не ограничивается тем, что они могут использоваться как самостоятельный инструмент плановых расчетов.
Статические модели для отдельных временных отрезков являются составными частями моделей, объединяющих условия развития народного хозяйства за ряд лет. Поэтому построение и анализ статических моделей – это неизбежный этап разработки более сложных динамических моделей. Вывод:
Основная проблема экономического планирования состоит в необходимости распределить ограниченное число необходимых ресурсов каждому предприятию (отрасли) так, чтобы они выполняли производственные планы, и избегать возникновения «узких» мест в экономике. Таким образом теория межотраслевого баланса, выведенная в условиях планово-директивной экономики и предназначенная для тотального государственного регулирования экономики, может найти своё применение и в рыночной экономике. Построение оптимизационных моделей межотраслевого баланса позволяет в условиях ограниченности ресурсов находить наиболее эффективные комбинации ресурсов для максимизации конечного продукта.
Литература:
А.Г.Гранберг «Математические модели в социалистической экономике», Москва 1978.
[1] Задача исчисления оптимальных оценок в рамках рассматриваемой модели относится к тому редкому классу экстремальных задач, оптимальный план которых не зависит от коэффициентов целевой функции.
Страницы: 1, 2
