И.Я. Лукасевич
Проведение практически любой финансовой операции порождает движение денежных средств. Такое движение может характеризоваться возникновением отдельных платежей, или множеством выплат и поступлений, распределенных во времени.
В процессе количественного анализа финансовых операций, удобно абстрагироваться от их конкретного экономического содержания и рассматривать порождаемые ими движения денежных средств как численный ряд, состоящий из последовательности распределенных во времени платежей CF0, CF1, ..., Cfn. Для обозначения подобного ряда в мировой практике широко используется термин “поток платежей” или “денежный поток” (cash flow – CF).
Отдельный элемент такого численного ряда CFt представляет собой разность между всеми поступлениями (притоками) денежных средств и их расходованием (оттоками) на конкретном временном отрезке проведения финансовой операции. Таким образом, величина CFt может иметь как положительный, так и отрицательный знак.
Количественный анализ денежных потоков, генерируемых за определенный период времени в результате реализации финансовой операции, или функционирования каких-либо активов, в общем случае сводится к исчислению следующих характеристик [7, 9, 13, 15, 16]:
FVn – будущей стоимости потока за n периодов;
PVn – современной стоимости потока за n периодов.
Часто возникает необходимость определения и ряда других параметров финансовых операций, важнейшими из которых являются:
CFt – величина потока платежей в периоде t;
r – процентная ставка;
n – срок (количество периодов) проведения операции. Ниже будут рассмотрены наиболее распространенные виды денежных потоков, их свойства, а также технология автоматизации исчисления перечисленных характеристик и параметров с применением ППП EXCEL.
Простейший (элементарный) денежный поток состоит из одной выплаты и последующего поступления, либо разового поступления с последующей выплатой, разделенных n - периодами времени (например – лет).
Примерами финансовых операций с подобными потоками платежей являются срочные депозиты, единовременные ссуды, некоторые виды ценных бумаг и др. Нетрудно заметить, что численный ряд в этом случае состоит всего из двух элементов – {-PV; FV} или {PV; -FV}.
Операции с элементарными потоками платежей характеризуются четырьмя параметрами – FV, PV, r, n. При этом величина любого из них может быть определена по известным значениям трех остальных.
Будущая величина элементарного потока платежей
Рассмотрим технологию исчисления будущей величины элементарного потока платежей на следующем примере.
Пример 1.2
Сумма в 10000 помещена в банк на депозит сроком на 4 года. Ставка по депозиту – 10% годовых. Проценты по депозиту начисляются раз в год. Какова будет величина депозита в конце срока?
По условиям данной операции известными величинами являются: первоначальная сумма вклада PV = 10000, процентная ставка r = 10% и срок n = 4 года.
Определим будущую величину вклада на конец первого периода:
FV1 = PV + PV r = PV(1 + r) = 10000(1 + 0,1) = 11000.
Соответственно для второго периода величина FV будет равна:
FV2 = FV1 + FV1 r = PV(1 + r) + PV(1 + r) r = PV(1 + r)2 =
= 10000(1 + 0,1)2 = 12100.
Для последнего периода (n = 4):
FV4 = FV3 + FV3 r = PV(1 + r)4 = 10000(1 + 0,1)4 = 14641.
Общее соотношение для определения будущей величины имеет следующий вид:
. (1.3)
Нетрудно заметить, что величина FV существенно зависит от значений r и n. Например, будущая величина суммы всего в 1,00 при годовой ставке 15% через 100 лет составит 1174313,45!
На рис. 1.1 приведен график, отражающий рост суммы в 1,00 при различных ставках сложных процентов.
Рис. 1.1. Рост суммы в 1.00 по ставкам сложных процентов
На практике, в зависимости от условий финансовой сделки, проценты могут начисляться несколько раз в году, например ежемесячно, ежеквартально и т.д. В этом случае соотношение (1.3) для исчисления будущей стоимости будет иметь следующий вид:
, (1.4)
где m – число периодов начисления в году.
Очевидно, что чем больше m, тем быстрее идет наращение суммы.
Допустим, что в примере 1.2 проценты выплачиваются ежеквартально (т = 4). Определим FV4,4 :
FV4,4 = 10000,00 (1 + 0,10/4)16 = 14845,06, т.е. на 204,06 больше, чем при начислении процентов раз в год.
Часто возникает необходимость сравнения условий финансовых операций, предусматривающих различные периоды начисления процентов. В этом случае осуществляют приведение соответствующих процентных ставок к их годовому эквиваленту:
, (1.5)
где r – номинальная ставка; m – число периодов начисления.
Полученную при этом величину называют эффективной процентной ставкой (effective percentage rate – EPR) или ставкой сравнения.
Осуществим расчет эффективной процентной ставки и будущей величины вклада для примера 1.2:
ЕPR = (1 + 0,1/4)4- 1 = 0,103813
FV = 10000,00 (1 + 0,103813)4 = 14845,06.
Таким образом, условия помещения суммы в 10000,00 на депозит сроком на 4 года под 10% годовых при ежеквартальном начислении процентов и под 10,3813%, начисляемых раз в год, являются эквивалентными.
Современная величина элементарного потока платежей
Формулу для определения современной величины элементарного потока платежей можно легко вывести из соотношения (1.3), путем деления его обеих частей на величину (1 + r)n. Выполнив соответствующие математические преобразования, получим:
. (1.6)
Пример 1.3
Выплаченная по 4-х летнему депозиту сумма составила величину в 14641,00. Определить первоначальную величину вклада, если ставка по депозиту равна 10% годовых.
PV = 14641,00 / (1 + 0,1)4 = 10000,00.
На рис 1.2 приведена графическая диаграмма, отражающая процесс дисконтирования суммы в 1,00 при различных ставках сложных процентов.
Рис. 1.2. Дисконтирование суммы в 1,00 при различных ставках r
Как и следовало ожидать, величина PV также зависит от продолжительности операции и процентной ставки, однако зависимость здесь обратная – чем больше r и n, тем меньше текущая (современная) величина.
В случае, если начисление процентов осуществляется m-раз в году, соотношение (1.6) будет иметь следующий вид:
. (1.7)
Исчисление процентной ставки и продолжительности операции
Формулы для определения величин r и n могут быть получены из (1.3) и приводятся ниже в готовом виде.
При известных величинах FV, PV и n, процентную ставку можно определить по формуле:
. (1.8)
Пример 1.4
Сумма в 10000,00 помещенная в банк на 4 года составила величину в 14641,00. Определить процентную ставку (доходность операции).
r = (14141,00 / 10000,00)1/4 - 1 = 0,10 (10%).
Длительность операции определяется путем логарифмирования:
. (1.9)
Приведенные соотношения (1.3 – 1.9) позволяют определить основные количественные характеристики финансовых операций, в результате проведения которых возникают элементарные потоки платежей. Автоматизация анализа элементарных потоков платежей
Соотношения (1.3 – 1.9) могут быть легко реализованы в виде соответствующих формул ППП EXCEL. Например, соотношение (1.9), могло бы быть задано следующим арифметическим выражением:
=LOG(FV / PV) / LOG(1 + r), где
LOG – имя функции для вычисления логарифма;
FV, PV, r – соответствующие числовые значения.
Однако современные табличные процессоры содержат множество готовых функций, автоматизирующих проведение финансовых расчетов.
В ППП EXCEL для этих целей реализована специальная группа из 52 функций, получивших название финансовых.
Для исчисления характеристик финансовых операций с элементарными потоками платежей удобно использовать функции БЗ(), КПЕР(), НОРМА(), ПЗ() (табл. 1.1).
Таблица 1.1
Функции для анализа потоков платежей
Наименование функции
