С одной стороны, вероятности повышения и понижения САЛК можно определять исходя из значения р(а,b). С другой стороны, эту же вероятность можно определить, используя зависимость k(c).

Величины вероятностей повышения и понижения САЛК законченного ИПС с параметрами a,b,c - Ррас(a,b,c) и Рnac(a,b,c) оцениваются с помощью двух описанных критериев:

1.     Критерий основанный на учете размера хвоста индекса с (выражения

(4) и (5));

2.     Критерий основанный на учете параметров a и b ИПС (выражения (8)

и (9)).

Из двух критериев при известных значениях a,b,c выбирается один дающий минимальную неопределенность решения, т.е. наибольшая из вероятностей повышения или понижения САЛК законченного ИПС, оцененных по выбранному критерию должна быть больше, любой из тех же вероятностей, но оцененных по второму критерию. В случае, когда вероятность повышения САЛК оцененная по одному критерию равна вероятности понижения САЛК, но оцененной по другому критерию, вероятности повышения и понижения САЛК принимаются равными 0,5.

2.1.3. Нахождение вероятности совершения последней сделки по направлению хвоста незаконченого ИПС

Были рассчитанны значения вероятностей Pt*(с) совершения последней сделки по направлению хвоста незаконченного ИПС в зависимости от размера хвоста – “с” по формуле:

где - количество ИПС, у которых последняя сделка была совершена по направлению хвоста индекса незаконченного ИПС,

        - количество ИПС, у которых последняя сделка была совершена против     направления хвоста индекса незаконченного ИПС.

Возможны только два варианта трансформирования текущего незаконченного ИПС в законченный ИПС. В первом варианте новая сделка совершается по направлению хвоста индекса незаконченного ИПС, при этом образуется ИПС с одними параметрами, а во втором варианте ее направление совершения не совпадает с направлением хвоста индекса незаконченного ИПС, при этом образовавшийся ИПС имеет другие параметры.

Соответственно, при совершении новой сделки по направлению хвоста индекса, если с>0, значение “с” увеличивается на 1, если с<0, то значение “с” становится равным 1. Параметр “а” также увеличивается на 1, если для незаконченных ИПС направление хвоста индекса совпадает с рыночным направлением.

При совершении новой сделки против направления хвоста индекса незаконченного ИПС, если с>0, значение “с” становится равным -1, если с<0, то значение “с” уменьшается на 1. Параметр же “b” увеличивается 1.

Зависимость (10) можно представить такой же, как и в (3) функцией:

Найденное методом наименьших квадратов значение exp(-)          равно 0,94.

2.1.4. Нахождение вероятностей повышения и понижения САЛК в конце ИПС неизвестного размера

Рассмотрим схему образования законченного ИПС из незаконченного. Ввиду большого числа возможных вариантов трансформаций незаконченного ИПС в различные ИПС в случаях большого размера последних, ограничимся рассмотрением формирования ИПС, размер которых не превышает 3 сделки. Схема образования различных ИПС размером в 3 сделки показана на рис. 4.

Схема формирования различных ИПС размером в 3 сделки

Рис. 4

Линиями с наклоном вверх, обозначены сделки, совершаемые в направлении аккумулирования. Линии с наклоном вниз обозначают сделки, совершенные в направлении диссипации. Возле каждой линии указаны вероятности совершения соответствующей ей сделки.

Зная вероятности Ррac(a,b,c) и Рnac(a,b,c) изменения САЛК по завершению ИПС определенного размера, рассмотрим случай, когда размер ИПС неизвестен, что соответствует реальным условиям торгов.

Из экспериментальных данных следует, что частота появления ИПС определенного размера l=а+b уменьшается с увеличением значения l (табл. 2).

Таблица 2

Количество ИПС размера l=а+b в экспериментальной статистической базе данных

N(l)-количество ИПС размера l в экспериментальной статистической базе данных.

Общее количество ИПС в экспериментальной статистической базе данных – n=627.

Делением каждой величины N(l) на n были получены экспериментальные значения вероятностей f*(l) появления ИПС с размером l. Значения функции f*(l) приведены в табл. 3.

Таблица 3

Экспериментальные значения вероятностей f*(l)появления ИПС с размером l

.

Согласно правилу В.И. Романовского, гипотезу о данном виде функции f(l) можно считать верной, если число R<3:

где   – статистика Пирсона;

k – число степеней свободы.

Величина  вычисляется по формуле:

где   – абсолютные экспериментальные частоты: =N(j);

        –  абсолютные теоретические частоты;

        m – минимальная величина размера ИПС до которой происходит    подсчет .

При этом m и  вычисляются по формулам:

m1+ln n

=f(j)n

k=m-2

Было выбрано m=8, при этом число R, вычисленное по формулам     (13)-(17) составило 0,95<3, т.е. гипотезу о данном виде функции (12) можно считать верной.

Значения f(l), в зависимости от величины l, приведены в табл. 4.

Таблица 4

Значения аппроксимированной зависимости f(l)вероятности появления ИПС размером l от величины l

Продолжение табл. 4

Пусть lmax-размер ИПС, начиная с которого, вероятность появления ИПС с размерами llmax по статистике меньше 0,01. Из приведенных в табл.4.12 результатов видно, что lmax =12 для исследуемых акций. В дальнейших расчетах, будем считать, что максимальный размер ИПС не превышает величины lmax. С учетом этого каждому незаконченному ИПС, размера l (llmax) можно поставить в соответствие функцию fl(х), которая определяет вероятности появления законченных ИПС с размером х: lх12. Функции fl(х) выражаются как:

где 1 llmax, lxlmax.

Искомые величины Рр(a,b,c) и Рn(a,b,c) рассчитываются следующим образом:

где           l -  размер текущего незаконченного ИПС, l=a+b;

          fl(x) -  вероятность того, что ИПС размером x будет законченным;

          H(x) - вероятность того, что новая сделка вызовет повышение САЛК

                   законченного ИПС размером x.

Поскольку с увеличением значения x число слагаемых в функции H(х) увеличивается по закону геометрической прогрессии, формулы расчета значений H(х) приведены только для H(l) и H(l+1), так что:

если с>0:

H(l)=Рpаc(a,b,c)

H(l+1)=Pt(c)Рpаc(a+1,b,c+1)+(1-Pt(c))Рpаc(a,b+1,-1)

H(l)=Рpаc(a,b,c)

H(l+1)=(1-Pt(c))Рpаc(a+1,b,1)+Pt(c)Рpаc(a,b+1,c-1)

где Рpаc(a,b,c) - вероятность повышения САЛК законченного ИПС с параметрами a,b,c;

Pt(c) -   вероятность совершения новой сделки по направлению хвоста индекса незаконченного ИПС в зависимости от величины с.

2.2. Применение теории проверки гипотез Байеса

Пусть имеется выборка х=(х1,...,xn) размера n. Известно, что эта выборка принадлежит одному из двух распределений: W(x|A1) или W(x|A2). Априорные вероятности состояний А1 и А2 равны, соответственно, v1 и     v2=1-v1. Необходимо  найти оптимальный с точки зрения возможных потерь метод принятия решения о том, какому из  указанных распределений принадлежит выборка.

Пусть H1 и H2 гипотезы о том, что выборка принадлежит распределениям, соответственно, W(x|A1) и W(x|A2), а  и -решения, состоящие в принятии гипотез, соответственно, Н1 или Н2.

Определим граничное значение х*, в зависимости от которого по текущему х будем принимать решения в пользу гипотезы Н1 или Н2. При х<х*, условимся принимать решение , тогда, как при х>х*, будем принимать решение . Вероятности неизбежных ошибок при принятии решения выражаются как:

где р1 - вероятность принятия решения при реализации гипотезы Н1;

      р2 - вероятность принятия решения  при реализации гипотезы Н2.

Вероятности принятия правильных решений можно выразить как:

Пусть известны цены правильных и ошибочных решений, так что:

С11-цена правильного принятия решения ;

С21-цена ошибочного принятия решения ;

С22-цена правильного принятия решения ;

С12-цена ошибочного принятия решения ;

С12>C11, C21>C22.                                                                             

Среднее значение потерь равно:

R=v1r1+v2r2

r2=C21P(|A2)+C22P(|A2)=C21p2+C22(1-p2)

Подставляя в (29) выражения (30) и (31), получим:

Подставляя величины р1 и р2 из (25) и (26) в промежуточное выражение (32), находим, что окончательно среднее значение потерь определяется как:

Минимальное значение средних потерь R достигается, когда подынтегральная функция будет неотрицательной, или когда при интегрировании в области [x*,xn]: