Министерство общего и профессионального образования РФ
Воронежский государственный университет
факультет ПММ
кафедра Дифференциальных уравнении
Курсовая работа
“Моделирование распределения потенциала
в МДП-структуре”
Исполнитель : студент 4 курса 5 группы
Никулин Л.А.
Руководитель : старший преподаватель
Рыжков А.В.
Воронеж 1998г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА В МДП-СТРУКТУРЕ
Математическая модель - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3
ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К
РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ
Использование разностных схем для решения
уравнения Пуассона и для граничных условий
раздела сред
Уравнение Пуассона - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5
Граничные условия раздела сред - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8
Общий алгоритм численого решения задачи
Метод установления - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 10
Метод переменных направлений - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 13
Построение разностных схем - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 16
ПРИЛОЖЕНИЕ - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
ЛИТЕРАТУРА - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Математическая модель распределения потенциала в МДП-структуре
Математическая модель
Пусть j(x,y) - функция, описывающая распределение потенциала в полупроводниковой структуре. В области оксла (СDEF) она удовлетворяет уравнению Лапласа:
d2j + d2j = 0
dx2 dy2
а в области полупроводника (прямоугольник ABGH) - уравнению Пуассона:
где
q - элементарный заряд e;
enn -диэлектрическая проницаемость кремния;
Nd(x,y) -распределение концентрации донорской примеси в подложке ;
Na(x,y) -распределение концентрации акцепторной примеси в подложке;
e0 -диэлектрическая постоянная
0 D E
y
B G
C F
A H
x
Рис.1.
На контактах прибора задано условие Дирихле:
j| BC = Uu
j| DE = Uз
j| FG = Uc
j| AH = Un
На боковых сторонах полупроводниковой структуры требуется выполнение
однородного условия Неймана вытекающее из симметричности структуры
относительно линий лежащих на отрезках AB и GH:
dj = 0 dj = 0
dy AB dy GH
На боковых сторонах окисла так же задается однородное условие Неймана
означающее что в направлении оси OY отсутствует течение электрического
тока:
dy DC dy EF
На границе раздела структуры окисел- полупроводник ставится условие
сопряжения :
j| -0 = j| +0
eok Ex |-0 - enn Ex |+0 = - Qss
где Qss -плотность поверхностного заряда;
eok -диэлектрическая проницаемость окисла кремния;
enn -диэлектрическая проницаемость полупроводника .
Под символом “+0” и”-0” понимают что значение функции берется бесконечно близко к границе CF со стороны либо полупроводника либо окисла кремния . Здесь первое условие означает непрерывность потенциала при переходе границы раздела сред а второе - указывает соотношение связывающее величину разрыва вектора напряженности при переходе из одной среды в другую с величиной поверхностного заряда на границе раздела.
Использование разностных схем для решения уравнения Пуассона и для граничных условий раздела сред
Уравнение Пуассона
В области {(x,y) : 0 < x < Lx , 0 < y < Ly } вводится сетка
W={(x,y) : 0 < i < M1 , 0 < j < M2}
x0 =0 , y0=0, xM1 = Lx , yM2 = Ly
xi+1 = xi + hi+1 , yj+1 = yj+ rj+1
i = 0,...,M1-1 j = 0,...,M2-1
Потоковые точки:
xi+ ½ = xi + hi+1 , i = 0,1,...,M1-1
2
yj+ ½ = yj + rj+1 , j = 0,1,...,M2-1
Обозначим :
U(xi,yj) = Uij
I(xi+½,yj) = Ii+½,j
I(xi,yj+½) = Ii,j+½
Проинтегрируем уравнение Пуассона:
Dj = - q (Nd + Na)
e0en
Q(x,y)
по области:
Vij = { (x,y) : xi- ½ < x < xi+ ½ , yj- ½ < y < yj+ ½ }
xi+ ½ yj+ ½ xi+ ½ yj+ ½
ò ò Dj dxdy = ò ò Q(x,y)dxdy
xi- ½ yj- ½ xi- ½ yj- ½
Отсюда:
yj+½ xi+½
ò(Ex(xi+½,y) - Ex(xi-½,y) )dx + ò(Ey(x,yj+½) - Ey(x,yj-½))dy=
yj-½ xi-½
xi+ ½ yj+ ½
= ò ò Q(x,y)dxdy
xi- ½ yj- ½
Здесь:
Ex(x,y) = - dj(x,y)
dx (*)
Ey(x,y) = - dj(x,y)
dy
x у-компоненты вектора напряженности электрического поля Е.
Предположим при
yj-½ < y < yj- ½ Ex(xi + ½,yj) = Ei+ ½ ,j = const
yj-½ < y < yj- ½ Ex(xi - ½ ,yj) = Ei- ½ ,j = const (**)
xi-½ < x < xi+ ½ Ey(xi, yj + ½) = Ei,j+ ½ = const
xi-½ < x < xi+ ½ Ey(xi, yj -½ ) = Ei,j - ½ = const
xi- ½ < x < xi+ ½
yj- ½ < y < yj+ ½ - Q(x,y) = Qij = const
Тогда
(Ex)i+ ½ ,j - (Ex)i -½ ,j r*j + (Ey)ij+ ½ - (Ey)ij- ½ h*i = Qijh*i r*j
где h*i = hi - hi+1 , r*j = rj - rj+1
2 2
Теперь Еi+ ½ ,j выражаем через значение j(x,y) в узлах сетки:
xi+1
òEx(x,yj)dx = - ji+1,j - jij
xi
из (**) при y=yj:
(Ex)i+ ½ ,j = - ji+1j - jij
hi+1
Анологично :
(Ey)i,j+ ½= - jij+1 - jij
rj+1
(Dj)ij = 1 j i+1,j - j ij - j i j - j i-1,j + 1 j i j+1 - j ij - j ij - j ij-1 =
h*i hi+1 hi r*j rj+1 rj
= Ndij + Naij
Граничные условия раздела сред
SiO2
e1
Si y
en
Для области V0j
yj+ ½ x ½
ene0 ò(Ex(x ½ ,y) - E+x(0,y))dy + ene0 ò (Ey(x,yj+ ½) - Ey(x,j- ½ ))dx =
yj- ½ 0
x ½ yj+½
= q ò ò (Nd + Na)dxdy
0 yj-½
Для области V`0j
ene0 ò(E-x(0,y) - Ex(x -½,y))dy + ene0 ò (Ey(x,yj+½) - Ey(x,j-½))dx = 0
где E+x(0,y) и E-x(0,y) -предельные значения х компоненты вектора
Е со стороны кремния и окисла.Складывая равенства и учитывая
условия:
ene0 dj + - e1e0 dj - = -Qss
dx dx
имеем
yj+½ x½
ò (ene0Ex(x½,y) - e1e0Ex(x-½,y) - Qss(y))dy + ene0ò (Ey(x,yj+½) + Ey(x,yj-½))dx +
yj-½ 0
0 x½ yj+½
+ e1e0 ò (Ey(x,yj+½) - Ey(x,yj-½))dx = q ò ò (Nd + Na)dxdy
x-½ 0 yj-½
Сделав относительно Ex и Ey предположения анологичные (**) положив Qss(y) = Qss = const при yj-½ < y < yj+½ и учитывая условия :
j+ = j- dj + = dj -
dy dy
“+”- со стороны кремния
“-“ - со стороны окисла
Получим :
Страницы: 1, 2