Рефераты. Моделирование распределения потенциала в МДП-структуре






Моделирование распределения потенциала в МДП-структуре

Министерство общего и профессионального образования РФ

Воронежский государственный университет

 

 

 

 

 

факультет ПММ

кафедра Дифференциальных уравнении

 

 

 

 

 

 

 

 

Курсовая работа

“Моделирование распределения потенциала

в МДП-структуре”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исполнитель : студент 4 курса 5 группы

Никулин Л.А.

 

Руководитель : старший  преподаватель

Рыжков А.В.

 

 

 

Воронеж 1998г.

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

                                           

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА В МДП-СТРУКТУРЕ

Математическая модель          - - - - - - - - - - - - - - - - - - -  3

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К

РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ

Использование разностных схем для решения

уравнения Пуассона  и для граничных условий

раздела сред

Уравнение Пуассона                                   - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    5

Граничные условия раздела сред             - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    8


Общий алгоритм численого решения задачи

Метод установления                                   - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    10

Метод переменных направлений            - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -    13

Построение разностных схем                    - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -   16


ПРИЛОЖЕНИЕ                               - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

ЛИТЕРАТУРА                                  - - - - - - - - - - - - - - - - - - -





















Математическая модель распределения потенциала в МДП-структуре

 

 

Математическая модель

 

 

Пусть j(x,y) - функция, описывающая распределение потенциала в полупроводниковой структуре. В области оксла (СDEF) она удовлетворяет уравнению Лапласа:


d2j  +  d2j    = 0

 dx2      dy2

а в области полупроводника (прямоугольник  ABGH) - уравнению Пуассона:

d2j   +   d2j   = 0

 dx2        dy2

где   

 q               - элементарный  заряд  e;

enn                      -диэлектрическая проницаемость кремния;

Nd(x,y)       -распределение концентрации донорской примеси в подложке ;

Na(x,y)       -распределение концентрации акцепторной примеси в подложке; 

e0               -диэлектрическая постоянная






                 0                                   D                         E

                                                                                                                     y



                 B                                                                                                                                                                  G

                                                     C                                           F


                 A                                                                                                                                                                 H

            


                  x

Рис.1.

 
 




На контактах прибора задано условие Дирихле:

 

j| BC = Uu

j| DE = Uз

j| FG = Uc

j| AH = Un

 

На боковых сторонах полупроводниковой структуры требуется выполнение

однородного условия Неймана  вытекающее из симметричности структуры

относительно линий  лежащих на отрезках AB и GH:


dj   = 0              dj     = 0

dy    AB                 dy    GH

На  боковых сторонах окисла так же задается однородное условие Неймана

означающее  что в направлении оси OY отсутствует течение электрического

тока:


dj   = 0              dj     = 0

dy    DC                  dy    EF


На границе раздела структуры окисел- полупроводник ставится условие

сопряжения :


j| -0  = j| +0

eok  Ex |-0  -  enn  Ex |+0  = - Qss

 

где Qss -плотность поверхностного заряда;

      eok -диэлектрическая проницаемость окисла кремния;

      enn  -диэлектрическая проницаемость полупроводника .

Под символом “+0” и”-0” понимают  что значение функции берется бесконечно близко к границе CF со стороны либо полупроводника либо окисла кремния . Здесь первое условие означает непрерывность потенциала при переходе границы раздела сред а второе - указывает соотношение  связывающее величину разрыва вектора напряженности при  переходе из одной среды в другую с величиной поверхностного заряда на границе раздела.










 

 

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К

РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ



          Использование разностных схем для решения уравнения Пуассона  и для граничных условий раздела сред



Уравнение Пуассона




  В  области {(x,y) :  0 < x < Lx ,  0 < y < Ly }  вводится сетка


W={(x,y) : 0 < i < M1 , 0 < j < M2}

x0 =0 , y0=0,     xM1 = Lx , yM2 = Ly

xi+1 = xi + hi+1        ,  yj+1 = yj+ rj+1

 i = 0,...,M1-1            j = 0,...,M2-1

 





























Потоковые точки:

xi+ ½  = xi + hi+1 ,             i = 0,1,...,M1-1

2

yj+ ½  = yj + rj+1 ,              j = 0,1,...,M2-1

    2

Обозначим :

U(xi,yj) = Uij

I(xi+½,yj) = Ii+½,j

I(xi,yj+½) = Ii,j+½

 

Проинтегрируем уравнение Пуассона:


Dj = -   q    (Nd + Na)

e0en

 

          Q(x,y)

по области:

Vij = { (x,y) :  xi- ½  < x < xi+ ½   ,  yj- ½  < y < yj+ ½  }

 

xi+ ½   yj+ ½                xi+ ½       yj+ ½

ò   ò  Dj dxdy = ò    ò Q(x,y)dxdy

xi- ½    yj- ½                xi- ½       yj- ½

Отсюда:

yj+½                                                xi+½

ò(Ex(xi+½,y) - Ex(xi-½,y) )dx + ò(Ey(x,yj+½) - Ey(x,yj-½))dy=

yj-½                                                 xi-½  

 

xi+ ½    yj+ ½

= ò    ò Q(x,y)dxdy

xi-   ½    yj- ½

Здесь:

Ex(x,y) = -  dj(x,y)

                  dx                                           (*)

Ey(x,y) = -  dj(x,y)

                   dy

x у-компоненты вектора напряженности электрического поля Е.

Предположим при

 


yj-½  <  y < yj- ½                Ex(xi + ½,yj) = Ei+ ½ ,j = const

  yj-½  <  y < yj- ½                Ex(xi - ½ ,yj) = Ei- ½ ,j = const             (**)

 xi-½  < x < xi+ ½                Ey(xi, yj + ½) = Ei,j+ ½  = const

xi-½  < x < xi+ ½               Ey(xi, yj ) = Ei,j - ½  = const

xi- ½  <  x <    xi+ ½

yj- ½   <  y  <    yj+ ½     - Q(x,y) = Qij = const


Тогда

 


(Ex)i+ ½ ,j - (Ex)i -½ ,j   r*j  +  (Ey)ij+ ½  - (Ey)ij- ½    h*i  =  Qijh*i  r*j

где h*i = hi - hi+1    ,     r*j = rj - rj+1  

                 2                             2

Теперь Еi+ ½ ,j выражаем через значение j(x,y) в узлах сетки:

xi+1

òEx(x,yj)dx = - ji+1,j - jij

xi

из (**) при y=yj:


(Ex)i+ ½ ,j = -  ji+1j - jij

                      hi+1

Анологично  :

(Ey)i,j+ ½= -  jij+1 - jij

                      rj+1


Отсюда:

 


(Dj)ij = 1     j i+1,j  - j ij    -    j i j - j i-1,j        +    1   j i j+1 - j ij    -    j ij - j ij-1     =

                 h*i        hi+1                         hi                    r*j        rj+1                        rj


= Ndij + Naij


















Граничные условия раздела сред




 


              SiO2

              e1









        Si                                                                                                                      y

        en








       x





Для области V0j

yj+ ½                                                                               x ½

ene0 ò(Ex(x ½ ,y) - E+x(0,y))dy  + ene0 ò (Ey(x,yj+ ½) - Ey(x,j- ½ ))dx =

yj- ½                                                                    0

x ½   yj+½ 

= q ò   ò (Nd + Na)dxdy

0    yj-½

Для области V`0j

yj+ ½                                                                               x ½

ene0 ò(E-x(0,y) - Ex(x -½,y))dy  + ene0 ò (Ey(x,yj+½) - Ey(x,j-½))dx = 0

yj- ½                                                                      0

 

где  E+x(0,y) и E-x(0,y)   -предельные значения х компоненты вектора

Е со стороны кремния и окисла.Складывая   равенства и учитывая

условия:


ene0 dj +e1e0 dj -  = -Qss

 dx              dx


имеем

yj+½                                                                                                                                x½ 

ò (ene0Ex(x½,y) - e1e0Ex(x-½,y) - Qss(y))dy   +   ene0ò (Ey(x,yj+½) + Ey(x,yj-½))dx  +

yj-½                                                                                0

0                                                   x½  yj+½ 

+ e1e0 ò (Ey(x,yj+½) - Ey(x,yj-½))dx  =  q ò ò (Nd + Na)dxdy

x-½                                                0  yj-½   


Сделав относительно  Ex и Ey предположения анологичные (**) положив Qss(y) = Qss = const при yj-½ < y < yj+½  и учитывая условия :

 

j+ = j-        dj +   =    dj -

              dy          dy

“+”- со стороны кремния

“-“ - со стороны окисла

Получим :


 

Страницы: 1, 2



2012 © Все права защищены
При использовании материалов активная ссылка на источник обязательна.