Двухосный индикаторный стабилизатор телекамер на ВОГ

Исследование влияния нежесткостей элементов гиростабилизатора на его устойчивость.

                Анализ устойчивости ГС с нежесткими наружной рамой, креплением статора двигателя стабилизации к раме, с нежесткими редуктором и связью платформы с объектом стабилизации, проводим основываясь на следующей физической модели:

                                                               Рис. 1.

                здесь Ji   - момент инерции i-го элемента;

                               Ci,j           - коэффициент упругости;

                               Di,j          - коэфф. демпфирования между i и j

                                                 элементами;

                               K             - коэффициент передачи цепи обратной

                                                 связи.

                Оценку влияния каждого из входящих в модель элементов (Ji,Ci,j,Di,j) выполняем на основе анализа поведения ЛАХ разомкнутой системы, при вариациях Ji,Ci,j,Di,j.

                Уравнения движения каждого из элементов модели в общем виде могут быть представлены следующим образом:

Ji×xi''+Di-1,i×(xi'-xi-1')-Di,i+1×(xi+1'-xi')+Ci-1,i× (xi-xi-1)-Ci,i+1×(xi+1 - xi) = Мi    (1)

где          Мi                 - внешний момент действующий на i-й элемент;

                xi,xi', xi''- перемещение, скорость и ускорение i-го

                                               элемента.

                Расписав уравнение (1) для каждого элемента, получим следующюю систему уравнений движения модели:

J1×x1''+D01×(x1'-x0')-D12×(x2'-x1')+C01×(x1-x0)-C12×(x2-x1)= М1

J2×x2''+D12×(x2'-x1')-D23×(x3'-x2')+C12×(x2-x1)-C23×(x3-x2)= М2

J3×x3''+D23×(x3'-x2')-D34×(x4'-x3')+C23×(x3-x2)-C34×(x4-x3)= М3 (2)

J4×x4''+D34×(x4'-x3')-D45×(x5'-x4')+C34×(x4-x3)-C45× (x5-x4)= М4

J5×x5''+D45×(x5'-x4')-D56×(x6'-x5')+C45×(x5-x4)-C56×(x6-x5)= М5

                Раскрыв в (2) скобки и преобразовав получаем следующий вид уравнений движения модели.

-D01×x0'-C01×x0+J1×x1''+(D01+D12)×x1'+(C01+C12)×x1-D34×x2'-

-C12×x2= М1

-D12×x1'-C12×x1+J2×x2''+(D23+D12)×x2'+(C12+C23)×x2-D23×x3'-

-C23×x3= М2

-D23×x2'-C23×x2+J3×x3''+(D23+D34)×x3'+(C23+C34)×x3-D34×x4'-

-C34×x4=М3                                                                                                                                          (3)

-D34×x3'-C34×x3+J4×x4''+(D34+D45)×x4'+(C34+C45)×x4-D45×x5'-

-C45×x5= М4

-D45×x4'-C45×x4+J5×x5''+(D45+D56)×x5'+(C45+C56)×x5-D56×x6'-

-C56×x6= М5

                Переписав (3) в операторной форме получаем уравнения движения модели в следующем виде.

-(D01×s+C01)×x0+(J1×s2+(D01+D12)×s+(C01+C12))×x1 -

-(D12×s+C12)×x2= М1

-(D12×s+C12)×x1+(J2×s2+(D12+D23)×s+(C12+C23))×x2-

-(D23×s+C23)×x3= К×x4

-(D23×s+C23)×x2+(J3×s2+(D23+D34)×s+(C23+C34))×x3-

-(D34×s+C34)×x4=-К×x4

-(D34×s+C34)×x3+(J4×s2+(D34+D45)×s+(C34+C45))×x4-

-(D45×s+C45)×x5= М4                                                                                                                            (4)

-(D45×s+C45)×x4+(J5×s2+(D45+D56)×s+(C45+C56))×x5-

-(D56×s+C56)×x6= М5

                Для нахождения передаточной функции разомкнутой системы по управляющему воздействию Wp(s) составим два определителя: главный - D, и характеризующий входное воздействие D1, с учетом того, что x0=0; D56=0; C56=0; C23=0.

                               a11           a12           0              0              0

                               a21           a22           a23           0              0

                D=           0              a32           a33           a34           0                                                                            (5)

                               0              0              a43           a44           a45

                               0              0              0              a54           a55

где          a11 = J1×s2+(D01+D12)×s+C01+C12

                a12 = -D12×s-C12

                a21 = a12

                a22 = J2×s2+(D12+D23)×s+C12

                a23 = -D23×s

                a32 = a23

                a33 = J3×s2+(D23+D34)×s+C34

                a34 = -D34×s-C34

                a43 = a34

                a44 = J4×s2+(D34+D45)×s+C34+C45

                a45 = -D45×s-C45

                a54 = a45

                a55 = J5×s2+D45×s+C45

                               a11           a12           0              0              0

                               a21           a22           a23  -K×x4 0

                D1=         0              a32           a33   K×x4 0                                                                            (6)

                               0              0              a43           0              a45

                               0              0              0              0              a55

                Передаточная функция разомкнутой системы определяется как:

                                               D1                           -K×(b7×s7+....+b1×s+b0)×x4

                Wp(s) =                                   =                                                                                                        (7)

                                       D×x4                 s×(a9×s9+....+a1×s+a0)×x4

                Коэффициенты ai, bi полиномов числителя и знаменателя передаточной функции Wp(s) выражаются через параметры элементов модели следующим образом:

                                                                                                                                                                            (8)

a9=J1J2J3J4J5

a8=D01J2J3J4J5+D12J3J4J5(J1+J2)+J1(D23J4J5(J2+J3)+J2(D34J5(J3+J4)+D45J3(J4+J5)))

a7=C01J2J3J4J5+C12J3J4J5(J1+J2)+C34J1J2(J3J5+J4J5)+C45J1J2J3(J4+J5)+D01(D12J3J4J5+D23J4J5(J2+J3)+J2(D34J5(J3+J4)+D45J3(J4+J5)))+D12(D23J4J5(J1+J2+J3)+(J1+J2)(D34J5(J3+J4)+D45J3(J4+J5)))+J1(D23(D34J5(J2+J3+J4)+D45(J4+J5)(J2+J3))+D34D45J2(J3+J4+J5))

a6=C01(D12J3J4J5+D23J4J5(J2+J3)+J2(D34J5(J3+J4)+D45J3(J4+J5)))+C12(D01J3J4J5+D23J4J5(J1+J2+J3)+(J1+J2)(D34J5(J3+J4)+D45J3(J4+J5)))+C34(D01J2(J3J5+J4J5)+D12J5(J3+J4)(J1+J2)+J1(D23J5(J2+J3+J4)+D45J2(J3+J4+J5)))+C45(D01J2J3(J4+J5)+D12J3(J4+J5)(J1+J2)+J1(D23(J4+J5)(J2+J3)+D34J2(J3+J4+J5)))+D01(D12(D23J4J5+D34(J3J5+J4J5)+D45J3(J4+J5))+D23(D34(J2J5+J3J5+J4J5)+D45(J4+J5)(J2+J3))+D34D45J2(J3+J4+J5))+D12(D23(D34(J1J5+J2J5+J3J5+J4J5)+D45(J4+J5)(J1+J2+J3))+D34D45(J3+J4+J5)(J1+J2))+D23D34D45J1(J2+J3+J4+J5)

a5=C01(C12J3J4J5+C34J2(J3J5+J4J5)+C45J2J3(J4+J5)+D12(D23J4J5+D34(J3J5+J4J5)+D45J3(J4+J5))+D23(D34(J2J5+J3J5+J4J5)+D45(J4+J5)(J2+J3))+D34D45J2(J3+J4+J5))+C12(C34J5(J3+J4)(J1+J2)+C45J3(J4+J5)(J1+J2)+D01(D23J4J5+D34(J3J5+J4J5)+D45J3(J4+J5))+D23(D34(J1J5+J2J5+J3J5+J4J5)+D45(J4+J5)(J1+J2+J3))+D34D45(J3+J4+J5)(J1+J2))+C34(C45J1J2(J3+J4+J5)+D01(D12(J3J5+J4J5)+D23(J2J5+J3J5+J4J5)+D45J2(J3+J4+J5))+D12(D23(J1J5+J2J5+J3J5+J4J5)+D45(J3+J4+J5)(J1+J2))+D23D45J1(J2+J3+J4+J5))+C45(D01(D12J3(J4+J5)+D23(J2(J4+J5)+J3(J4+J5))+D34J2(J3+J4+J5))+D12(D23(J1(J4+J5)+J2(J4+J5)+J3(J4+J5))+D34(J3+J4+J5)(J1+J2))+D23D34J1(J2+J3+J4+J5))+D01(D12(D23(D34J5+D45(J4+J5))+D34D45(J3+J4+J5))+D23D34D45(J2+J3+J4+J5))+D12D23D34D45(J1+J2+J3+J4+J5)

a4=C01(C12(D23J4J5+D34(J3J5+J4J5)+D45J3(J4+J5))+C34(D12(J3J5+J4J5)+D23(J2J5+J3J5+J4J5)+D45J2(J3+J4+J5))+C45(D12J3(J4+J5)+D23(J2(J4+J5)+J3(J4+J5))+D34J2(J3+J4+J5))+D12(D23(D34J5+D45(J4+J5))+D34D45(J3+J4+J5))+D23D34D45(J2+J3+J4+J5))+C12(C34(D01(J3J5+J4J5)+D23(J1J5+J2J5+J3J5+J4J5)+D45(J3+J4+J5)(J1+J2))+C45(D01J3(J4+J5)+D23(J1(J4+J5)+J2(J4+J5)+J3(J4+J5))+D34(J3+J4+J5)(J1+J2))+D01(D23(D34J5+D45(J4+J5))+D34D45(J3+J4+J5))+D23D34D45(J1+J2+J3+J4+J5))+C34(C45(D01J2(J3+J4+J5)+D12(J1(J3+J4+J5)+J2(J3+J4+J5))+D23J1(J2+J3+J4+J5))+D01(D12(D23J5+D45(J3+J4+J5))+D23D45(J2+J3+J4+J5))+D12D23D45(J1+J2+J3+J4+J5))+C45(D01(D12(D23(J4+J5)+D34(J3+J4+J5))+D23D34(J2+J3+J4+J5))+D12D23D34(J1+J2+J3+J4+J5))+D01D12D23D34D45

a3=C01(C12(C34(J3J5+J4J5)+C45J3(J4+J5)+D23(D34J5+D45(J4+J5))+D34D45(J3+J4+J5))+C34(C45J2(J3+J4+J5)+D12(D23J5+D45(J3+J4+J5))+D23D45(J2+J3+J4+J5))+C45(D12(D23(J4+J5)+D34(J3+J4+J5))+D23D34(J2+J3+J4+J5))+D12D23D34D45)+C12(C34(C45(J1(J3+J4+J5)+J2(J3+J4+J5))+D01(D23J5+D45(J3+J4+J5))+D23D45(J1+J2+J3+J4+J5))+C45(D01(D23(J4+J5)+D34(J3+J4+J5))+D23D34(J1+J2+J3+J4+J5))+D01D23D34D45)+C34(C45(D01(D12(J3+J4+J5)+D23(J2+J3+J4+J5))+D12D23(J1+J2+J3+J4+J5))+D01D12D23D45)+C45D01D12D23D34

a2=C01(C12(C34(D23J5+D45(J3+J4+J5))+C45(D23(J4+J5)+D34(J3+J4+J5))+D23D34D45)+C34(C45(D12(J3+J4+J5)+D23(J2+J3+J4+J5))+D12D23D45)+C45D12D23D34)+C12(C34(C45(D01(J3+J4+J5)+D23(J1+J2+J3+J4+J5))+D01D23D45)+C45D01D23D34)+C34C45D01D12D23

a1=C01(C12(C34(C45(J3+J4+J5)+D23D45)+C45D23D34)+C34C45D12D23)+C12C34C45D01D23

a0=C01C12C34C45D23

b7=D34J1J2J5

b6=(C34J1J2J5+D34(D01J2J5+D12J5(J1+J2)+D45J1J2))

b5=(C01D34J2J5+C12D34J5(J1+J2)+C34(D01J2J5+D12J5(J1+J2)+D45J1J2)+C45D34J1J2+D34(D01(D12J5+D45J2)+D12D45(J1+J2)))

b4=(C01(C34J2J5+D12D34J5+D34D45J2)+C12(C34J5(J1+J2)+D01D34J5+D34D45(J1+J2))+C34(C45J1J2+D01(D12J5+D45J2)+D12D45(J1+J2))+C45D34(D01J2+D12(J1+J2))+D01D12D34D45)

b3=(C01(C12D34J5+C34(D12J5+D45J2)+C45D34J2+D12D34D45)+C12(C34(D01J5+D45(J1+J2))+C45D34(J1+J2)+D01D34D45)+C34(C45(D01J2+D12(J1+J2))+D01D12D45)+C45D01D12D34)

b2=(C01(C12(C34J5+D34D45)+C34(C45J2+D12D45)+C45D12D34)+C12(C34(C45(J1+J2)+D01D45)+C45D01D34)+C34C45D01D12)

b1=(C01(C12(C34D45+C45D34)+C34C45D12)+C12C34C45D01)

b0=C01C12C34C45

                Представить передаточную функцию Wp(s) в виде произведения полиномов не выше второго порядка в числителе и знаменателе Wp(s) в аналитическом виде не представляется возможным даже теоретически, т.к. вид корней характеристических полиномов ai,bi, а, следовательно, и вид  разложения на полиномы не выше второго порядка, зависит от численных значений параметров элементов модели. Поэтому исследование влияния элементов модели на устойчивость ГС проводилось численно, путем нахождения корней характеристических полиномов для каждого частного случая. Далее по полученным корням определялись полиномы не выше второго порядка по которым и строилась ЛАХ разомкнутой системы.

                Все математические операции проводилось с использованием пакета “MATHCAD” с помощью которого численно определялись корни полиномов в передаточной функции разомкнутой системы Wp(s), зная которые можно представить Wp(s) в виде последовательного соединения элементарных звеньев. Это выполняется следующим образом. Пусть полиномы числителя и знаменателя Wp(s) имеют корни lai, lbi соответственно. Эти корни могут быть нулевыми, действительными и комплексно сопряженными. Каждый нулевой корень знаменателя lai=0 обеспечивает появление в составе Wp(s) интегрирующего звена Wi(s)= 1/s, соответственно lbi=0 отвечает за появление чисто дифференцирующего звена с Wi(s)= s. Каждый из действительных корней lai, lbi приносит в числитель или знаменатель соответственно выражение вида (Ti×s+1)×(1/Ti), где Ti=1/li , что соответствует появлению апериодических и дифференцирующих звеньев в составе Wp(s). Каждая пара комплексно сопряженных корней li, li* в составе числителя или знаменателя передаточной функции отвечает за появление в числителе или знаменателе соответственно выражений вида (Ti2 × s2 +2×xi×Ti×s +1)×(1/Ti2), где Ti=1 / |li| , xi=Re(li) / |li|. Таким образом, зная корни полиномов числителя и знаменателя передаточной функции можно представить её в виде:

                                                               П(si)×П(Tg×s+1)×П( Tn2 × s2 +2×xn×Tn×s +1)

                Wp(s) = k × kw ×                                                                                                                     (9)

                                                               П(sj)×П(Tk×s+1)×П( Tm2 × s2 +2×xm×Tm×s +1)

                                               П(1/Ti) × П(1/Ti2)

                где kw =

                                               П(1/Ti) × П(1/Ti2)

                Для численных расчетов примем базовые параметры модели характерными для ГС данного типа, которые равны следующим значениям:

J1 = 0.25 кг×м2       C01 = 1×103 Н×м/рад.                            D01=0.001 Н×м×с

J2 = 0.03 кг×м2       C12 = 1×103 Н×м/рад.                            D12=0.001 Н×м×с

J3 = 0.01 кг×м2       C23 = 0                                                   D23=0.1 Н×м×с

J4 = 0.15 кг×м2       C34 =1×104 Н×м/рад.                             D34=0.001 Н×м×с

J5 = 1 кг×м2            C45 =1×103 Н×м/рад.                             D45=0.01 Н×м×с

К = 1000

                Рассмотрим следующие варианты модели:

1) ГС с “жесткими” рамами и редуктором.

                Начальные параметры модели принимают следующие знечения:

J1 = 0.25 кг×м2                       C01 = 1×1020 Н×м/рад.                           D01= 0.001 Н×м×с

J2 = 0.03 кг×м2                       C12 = 1×1020 Н×м/рад.                           D12= 0.001 Н×м×с

J3 = 0.01 кг×м2                       C23 = 0                                                   D23=0.1 Н×м×с

J4 = 0.15 кг×м2                       C34 =1×1020 Н×м/рад.                            D34=0.001 Н×м×с

J5 = 1 кг×м2                                           C45 =1×1020 Н×м/рад.                            D45=0.01 Н×м×с

К = 1000

Варьируем D23 = 0.01 ... 1  H×м×с

                Передаточная функция при этом имеет вид:

                                                  k × kw

                Wp(s)=                                                                                                                               (10)

                                               s × (T×s+1)

                Значения постоянной времени Т, w, kw приведены в Табл.1.

Табл.1.