Вид установки показан на рис.8. Отношение радиуса платформы к длине нитей подвеса R/l < 0,05, что соответствует приближениям, используемым при выводе формулы (3.16).
Тела на платформу необходимо класть строго симметрично, так, чтобы не было перекоса платформы. Для облегчения определения положения грузов и более точной их установки на платформе нанесены радиальные линии и концентрические окружности на определенном расстоянии друг от друга (5 мм).
Вращательный импульс, необходимый для запуска крутильных колебаний, сообщается платформе путем поворота верхнего диска вокруг оси. Это достигается с помощью рычага, закрепленного на верхнем диске. При таком возбуждении почти полностью отсутствуют другие виды колебаний, наличие которых затрудняет измерения. При измерениях недопустимо пользоваться амплитудами колебаний, большими 10°.
Измерение времени колебаний может проводиться или с помощью ручного секундомера или с помощью таймера.
Задание 1. Измерение момента инерции пустой платформы
1. Момент инерции пустой платформы Jпл определяется по формуле (3.16). При этом период колебаний пустой платформы Т и его погрешность определяются на опыте, а величины l, R, r, m и их погрешности даются, как постоянные установки.
2. Сообщают платформе вращательный импульс и измеряют время t некоторого числа (N = 15 –20) полных колебаний. Такие измерения повторяют 3 – 5 раз. Полученные результаты заносят в таблицу 3.1 отчета.
3. По экспериментальным данным для каждого опыта находят значение периода крутильных колебаний.
4. Находят среднее значение и полную погрешность периода колебаний. При этом систематическая погрешность в измерении периода может быть взята равной .
5. Вычисляют момент инерции платформы JплЭ . Находят величину относительной и абсолютной погрешности для момента инерции платформы.
6. Рассчитывают теоретически момент инерции платформы JплT, исходя из ее массы и размеров. Находят погрешность такого расчета.
7. Сравнивают измеренное на опыте и вычисленное теоретически значение момента инерции пустой платформы. Указывают на сколько процентов экспериментальное
значение отличается от теоретического: .
Задание 2. Определение моментов инерции тел заданной формы
1. Платформу поочередно нагружают исследуемыми телами таким образом, чтобы их центр масс совпадал с осью вращения платформы. В качестве исследуемых тел выбираются пластины, имеющие форму квадрата, прямоугольника, равностороннего треугольника, диска, а также другие тела правильной геометрической формы.
2. Измеряют время нескольких колебаний всей системы. Для каждого тела проводят измерения 3 – 5 раз. Результаты измерений заносят в таблицу 3.2 отчета.
3. Вычисляют моменты инерции нагруженных платформ JN и их погрешности. При этом необходимо учесть, что в формулу (3.16) следует подставлять сумму масс тела и платформы, а в формуле погрешности погрешность массы равна суммарной погрешности массы платформы и тела.
4. Пользуясь тем, что момент инерции – величина аддитивная, вычисляют моменты инерции тел: JЭ = JN – JплЭ. Находят величину абсолютной и относительной погрешности для моментов инерции тел.
5. Проводят сравнение экспериментально полученных значений моментов инерции с рассчитанными теоретически (см. Приложение 3). Результаты расчетов заносят в таблицу 3.3 отчета.
Задание 3. Проверка теоремы Гюйгенса - Штейнера
1. Для проверки теоремы Гюйгенса – Штейнера используют два или несколько одинаковых тел, имеющих цилиндрическую форму.
2. Устанавливают грузы в центре платформы, положив их один на другой. Возбуждают крутильные колебания платформы. Измеряют время t нескольких колебаний (N= 15 – 20). Данные заносят в таблицу 3.4 отчета.
3. Располагают грузы симметрично на платформе относительно оси вращения. Проводят измерение времени колебаний для 5 – 7 положений грузов, постепенно перемещая их к краям платформы. Заносят в таблицу 3.4 значения расстояний от центра масс каждого тела а до центра платформы, число колебаний N и время этих колебаний tN.
2. Заносят в таблицу значения а2.
3. Для каждого положения грузов находят значения момента инерции платформы с грузами Ji по формуле (3.16).
4. Полученные значения момента инерции Ji наносят на график зависимости момента инерции системы тел от квадрата расстояния центра масс грузов до оси вращения а2 (схематично эта зависимость представлена на рис. 9). Как следует из теоремы Гюйгенса – Штейнера, этот график должен быть прямой линией, с угловым коэффи-
циентом численно равным 2mгр, где mгр – масса одного груза. Кроме того, отрезок, отсекаемый от оси ординат, равен сумме моментов инерции ненагруженной платформы и моментов инерции грузов b = Jпл+ 2J0гр.
5. Из зависимости J=f(a2) определяют значение mгр и величину b. Сравнивают полученное значение с массами грузов, используемыми в работе, а также полученное значение b с расчетным значением. Совпадение этих величин (с учетом погрешностей вычислений) также подтверждает теорему Гюйгенса-Штейнера.
В эксперименте используется массивное колесо, насаженное на горизонтально расположенный вал. Колесо приводится во вращение с помощью намотанного на вал шнура, к концу которого прикреплен груз.
Момент инерции – мера инертности тела при вращательном движении. Необходимо иметь в виду, что момент инерции в общем случае может иметь разные значения относительно разных осей вращения тела. Если тело имеет произвольную форму и произвольное распределение масс, момент инерции можно определить только приблизительным суммированием
,
где ri – расстояние от оси вращения до i-той элементарной массы Dmi.
Если тело имеет правильную геометрическую форму и постоянную плотность по всему объему, суммирование может быть заменено интегрированием по всему объему
.
Для расчета моментов инерции тел, имеющих простую геометрическую форму (диск, стержень, квадрат и т.д.), обычно пользуются готовыми формулами (Приложение 3).
В случаях, когда расчет моментов инерции тел затруднен, применяют различные способы их измерения. Ряд таких способов рассмотрен в данном практикуме. В настоящей работе предлагается энергетический подход к определению момента инерции.
Маховое колесо (рис. 10) состоит из маховика А, жестко закрепленного на горизонтальном валу В. На вал наматывается шнур, к концу которого прикреплен груз массой m, под действием силы тяжести которого вал может раскручиваться. При вращении любого тела возникают моменты сил, препятствующих его вращению. Эти моменты создаются, в основном, силами трения в опорах и, частично, силой сопротивления воздуха. Последний в данной работе не учитывается из-за его малости. Величина момента силы трения Мтр в опорах может быть установлена, например, из условия равновесия М - Мтр =0, а также по потере энергии вращающегося тела, как это сделано в данной работе. При падении с высоты h1 потенциальная энергия груза mgh1 идет на увеличение кинетической энергии поступательного
движения самого груза mv2/2, на увеличение кинетической энергии вращательного движения маховика и вала прибора Jw2/2 и на совершение работы А = Мтрj по преодолению трения в опорах. По закону сохранения энергии
, (4.1)
где j1 – угловое перемещение вала в опоре, соответствующее перемещению h1 груза.
Движение груза равноускоренное, без начальной скорости, поэтому
, (4.2)
где t – время опускания груза с высоты h1. Угловая скорость махового колеса
, (4.3)
где r – радиус вала В. Момент силы трения Мтр устанавливается следующим образом. Колесо, вращаясь по инерции, поднимает груз на высоту h2<h1, на которой потенциальная энергия будет равна mgh2. Изменение потенциальной энергии при движении груза равно работе по преодолению момента силы трения в опорах, т.е.
. (4.4)
Откуда
. (4.5)
Выражая угловой путь (j1 + j2) через линейный (h1 + h2) и радиус вала r, получаем
. (4.6)
Это выражение является рабочей формулой для измерения Мтр. Подставляя в формулу (4.1) значения v, w, Мтр из (4.2), (4.3), (4.6), получаем рабочую формулу для определения момента инерции махового колеса
. (4.7)
Экспериментальная установка
При подготовке к измерению махового колеса шнур наматывается на вал виток к витку. К концу шнура прикреплена платформа известной массы, на которую накладываются грузы из набора к установке. Для измерения высоты падения груза h1 и высоты его поднятия h2 рядом с установкой укреплена масштабная линейка. Время падения груза измеряется с помощью ручного или стационарного электронного секундомера.
Проведение эксперимента
Задание 1. Измерение момента инерции махового колеса и момента силы трения
Измерения
1. Штангенциркулем измеряют радиус вала.
2. Высоту падения груза h1 во всех опытах можно брать одной и той же. Поэтому ее можно предварительно измерить как расстояние между заранее выбранным верхним
положением груза и его положением при полном разматывании шнура.
3. Наматывают шнур на вал, поднимая груз до выбранной отметки. На платформу кладут один груз из набора. Измеряют время падения груза до полного разматывания шнура.
4. Измеряют высоту h2, на которую поднимается груз после разматывания шнура.
5. Опыт с одним грузом повторяют не менее трех раз. Затем выполняют измерения с двумя и тремя грузами. Все данные заносят в таблицу 4.1 отчета.
1. По формулам (4.6) и (4.7) для каждого значения массы вычисляют момент силы трения в опорах и момент инерции махового колеса, подставляя средние значения времени t и высоты h2 .
2. Находят среднее значение момента инерции махового колеса. Не имеет смысла находить среднее значение момента силы трения, так как при разных нагрузках на вал он должен иметь разные значения.
3. Погрешности измерения момента инерции предлагается оценить для опыта с одним из грузов. Полученное значение относительной погрешности момента инерции можно применить к среднему значению момента инерции. Величины систематических погрешностей измерений высот h1 и h2 следует брать, исходя из реальных условий их измерения. Погрешности измерений масс платформы и грузов равны ±0,5г.
4. Анализируют вклад погрешностей измерений всех величин в общую погрешность и указывают, какая из величин должна быть измерена с наибольшей точностью.
Задание 2. Вычисление момента инерции махового колеса
Ознакомиться с явлением удара на примере соударения подвешенных на нитях шаров.
Исследование упругого и неупругого удара шаров позволяет экспериментально проверить законы сохранения импульса и энергии, на базе которых выведены рабочие формулы, а также установить некоторые закономерности ударов. Проводится сопоставление теоретических выводов и экспериментально полученных результатов.
Удар – совокупность явлений, возникающих при кратковременном приложении к телу внешних сил, связанных со значительным изменении его скорости за очень краткий промежуток времени. Удар обычно протекает в течение тысячных или даже миллионных долей секунды. Удар называется центральным и прямым, если при ударе центры тяжести тел лежат на линии удара, а их относительная скорость параллельна линии удара. В зависимости от упругих свойств тел, характер удара может изменяться от абсолютно упругого до абсолютно неупругого. Рассеивание энергии при ударе, т.е. переход механической энергии в другие виды, характеризуется коэффициентом восстановления скорости kск или коэффициентом восстановления энергии kэ.
Коэффициент восстановления скорости определяется как отношение модуля относительной скорости тел после удара к модулю относительной скорости тел до удара
, (5.1)
где v1, v2 – скорости тел до удара, u1, u2 – скорости тел после удара.
Коэффициент восстановления энергии определяется как отношение суммарной кинетической энергии тел после удара к суммарной кинетической энергии тел до удара
. (5.2)
Нетрудно убедиться, что для абсолютно упругого удара kэ=1 и kск=1, а для абсолютно неупругого удара kск=0. В реальных ударах 0<kэ<1 и 0<kск<1. Величина коэффициентов восстановления зависит от физических свойств материалов соударяющихся тел, от их формы, а для неупругого удара также в сильной степени зависит от масс соударяющихся тел.
В данной работе изучается центральный удар двух шаров, подвешенных на нитях. Опыты будут ставиться так, что один из шаров до удара покоится.
Упругий удар шаров
Обозначим массы шаров m1 и m2, скорости шаров до удара и , скорости шаров после удара и соответственно. К абсолютно упругому соударению шаров применим как закон сохранения импульса, так и закон сохранения механической энергии
. (5.3)
Решение этой системы уравнений позволяет найти скорости шаров после удара
и , (5.4)
или, разделив числитель и знаменатель этих выражений на m1:
и , (5.5)
где a = m2/m1 – отношение масс шаров.
Величина a всегда положительна, поэтому второй шар после удара всегда движется в ту же сторону, куда двигался первый шар до удара. Первый же шар после удара может продолжать движение в ту же сторону, что и до удара, если его масса больше массы второго шара (a<1), или же отскакивать, если его масса меньше массы второго шара (a>1). В случае равенства масс шаров (a=1), первый шар после удара останавливается, а второй шар, неподвижный до удара, начинает двигаться со скоростью первого шара (обмен скоростей).
Отношение кинетической энергии , переданной во время удара первоначально покоящемуся шару, к кинетической энергии ударяющего шара определяется соотношением
. (5.6)
Величину f можно условно назвать эффективностью упругого удара. Она дает долю энергии первого шара, которую получил второй шар после удара. Между величинами f и a существует взаимно однозначное соответствие, в то время как одному и тому же a могут соответствовать множество значений энергии в зависимости от начальных значений скорости . Нужно отметить, что ход f(a) не зависит от начальной скорости или m1 и m2, а только от отношения m2/m1. Исследование функции (5.6) показывает, что второй шар получает от первого наибольшую энергию в том случае, когда массы шаров равны, т. е. при a=1. При этом f=1 и , вся энергия достается второму шару, а первый после удара останавливается.
Как уже указывалось, в реальном ударе часть кинетической энергии шаров переходит во внутреннюю энергию, и в предлагаемом случае, когда , . Поэтому зависимость (5.6) выполняется только с определенной степенью точности.
Неупругий удар шаров
В сущности, любой реальный удар является неупругим. Рассмотрим такой неупругий удар, после которого шары «слипаются» и движутся с одинаковой скоростью . Применяя к этому удару закон сохранения импульса, можно получить выражение для общей скорости шаров после удара
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
