или , (5.7)
где a - по-прежнему отношение масс шаров.
Коэффициент восстановления энергии при неупругом ударе равен
. (5.8)
Он оказывается зависимым от отношения масс шаров.
, (5.9)
где и - суммарные энергии системы до и после удара.
Очевидно, что q, рассматриваемая как функция от a, есть неизменная теоретическая функция. В то же время, эта функция, будучи просчитана по результатам измерений энергий и , является экспериментальной и может отличаться от первой.
Мгновенные скорости шаров до и после удара можно определить из закона сохранения энергии
.
Отсюда . В данном случае высоту поднятия шара h удобно выразить через угол отклонения шара j
, (5.10)
где l – длина подвеса шаров.
Отсчет углов отклонения шаров ведется по правой и левой круговым шкалам 2 со смещенными по горизонтали нулями.
Для удержания шаров в исходном положении установка снабжена двумя электромагнитами 3, которые обесточиваются с помощью тумблеров «Пуск».
К установке прилагается набор шаров, массы которых измерены с относительной погрешностью 1 % .
Проведение эксперимента
Задание 1. Изучение упругого столкновения шаров
Измерения
1. В качестве ударяющего обычно выбирается левый шар. Его отводят на угол 30 - 40°, который во всех опытах можно оставлять постоянным. Правый шар, согласно условиям этой работы, до удара должен быть неподвижным и находится в нижнем положении.
2. Перед каждым опытом проводят необходимую регулировку подвесов шаров для того, чтобы удар был центральным. В равновесном состоянии шары должны только касаться друг друга, а их центры должны находиться на одной высоте. Для проверки регулировки проводят несколько пробных соударений.
3. При отсчете углов отклонения шаров глаз нужно располагать так, чтобы он был в створе с обеими нитями. Будем считать углы отклонения шаров вправо - положительными, а углы отклонения влево и соответствующие им скорости – отрицательными. Так как трудно засечь значение двух углов одновременно, каждый опыт приходиться делать дважды: один раз для того, чтобы засечь угол отклонения правого шара, второй раз – левого.
4. Из набора шаров выбирают шар средней массы и укрепляют его на левом подвесе. На правом подвесе вначале укрепляют шар наименьшей массы.
5. Проводят не менее трех опытов для того, чтобы иметь возможность вычислить средние значения углов отклонения.
6. Далее проводят опыты со всеми другими шарами из набора, по очереди подвешивая их на правый подвес. Левый шар можно не менять. Все данные измерений заносят в таблицу 5.1 отчета.
Обработка результатов
1. Для каждого опыта вычисляют скорости шаров до и после удара. Вычисляют коэффициенты восстановления скорости и находят его среднее значение по результатам всех опытов. Вычисляют стандартное отклонение среднего значения коэффициента (табл. 5.2 отчета).
2. Для каждого опыта вычисляют кинетические энергии шаров до и после удара. Вычисляют кинетические энергии системы до и после удара. Вычисляют коэффициенты восстановления энергии и находят его среднее значение по результатам всех опытов. Вычисляют стандартное отклонение среднего значения коэффициента (табл. 5.3 отчета).
3. Подставляя в формулу (5.6) различные значения отношения масс шаров a (лучше брать те значения, которые имеются в опыте), вычисляют теоретические значения эффективности упругого удара fтеор.
4. Для каждого опыта вычисляют экспериментальную эффективность упругого удара fэксп., как .
5. Строят графики зависимости теоретического и экспериментального значений эффективности упругого удара от отношения масс шаров a (на одних координатных осях). Делают вывод о совпадении теории и эксперимента.
Задание 2. Изучение неупругого столкновения шаров
1. Измерения
1. Для того чтобы получить неупругий удар шаров к неподвижному шару прикрепляют кусочек пластилина. Необходимо добиться, чтобы после удара шары двигались как одно целое.
2. Слева подвешивается шар средней массы. Правые шары меняются для того, чтобы получить различные отношения масс шаров. Результаты измерения углов отклонения заносят в таблицу 5.4 отчета.
1. Для каждого опыта вычисляют скорости и кинетические энергии шаров до и после удара (табл. 5.5 отчета). Вычисляют коэффициенты восстановления энергии шаров. Вычисляют эффективности неупругого удара qэкспер.
2. Подставляя в формулу (5.9) различные значения отношения масс шаров, вычисляют теоретические значения эффективности упругого удара qтеор.
3. Строят графики зависимости теоретического и экспериментального значений эффективности неупругого удара от отношения масс шаров a (на одних координатных осях). Делают вывод о совпадении теории и эксперимента.
Цель работы
Изучение практического приложения теории неупругого удара, а также законов сохранения импульса и энергии.
Идея эксперимента
Скорость полета пули обычно достигает значительной величины. Поэтому прямое измерение скорости, т. е. определение времени, за которое пуля проходит известное расстояние, требует специальной аппаратуры. Много проще измерять скорость пули косвенными методами, среди которых широко распространены методы, использующие неупругие соударения, т. е. соударения, в результате которых сталкивающиеся тела соединяются вместе и продолжают движение как целое. К числу методов, основанных на этой идее, относится метод баллистического маятника.
Баллистический маятник представляет собой тяжелое тело, подвешенное на четырех нитях (рис. 12). Горизонтально летящая пуля попадает в маятник и застревает в нем, – происходит неупругий удар. После удара маятник начинает качаться на нитях, так что его продольная ось остается параллельной самой себе, центр масс перемещается по окружности, а тело в целом движется поступательно.
Соударение пули с маятником происходит в течение очень короткого промежутка времени, но за это время маятник приобретает некоторую скорость и незначительно сдвигается из положения равновесия. При таких малых перемещениях смещение маятника происходит практически без изменения высоты. При соударении пули с маятником справедлив закон сохранения импульса
, (6.1)
где m – масса пули, M – масса маятника, v – скорость пули, V – скорость маятника непосредственно после удара.
Чтобы определить величину V, нужно измерить высоту h, на которую поднимается маятник после удара. Из закона сохранения энергии получается
. (6.2)
. (6.3)
Высоту подъема центра масс маятника можно определить из рис. 13:
,
где R-расстояние от шкалы с миллиметровыми делениями до уровня подвеса маятника.
Учитывая, что h<<R, получаем: 2Rh = s2. Определяя отсюда h и подставляя в (6.3), получаем рабочую формулу метода
. (6.4)
Для определения скорости пули можно применить модифицированный баллистический метод, используя физический маятник в виде стержня или деревянной рейки, подвешенной за один конец (рис. 14).
Пуля, ударившись о линейку, приводит её в движение с некоторой угловой скоростью w и сообщает ей кинетическую энергию
. (6.5)
Момент инерции линейки (стержня) находится по стандартной формуле
. (6.6)
После удара линейка поворачивается на некоторый угол, причем центр ее тяжести поднимается на высоту h, которую, как и в первом опыте, можно найти из соотношений в треугольниках
. (6.7)
По закону сохранения энергии
. (6.8)
К удару пули о линейку можно также применить закон сохранения момента импульса
, (6.9)
где M – масса линейки, m –масса пули, l – длина линейки, R – расстояние от точки удара пули до оси вращения линейки.
Соотношения (6.5) – (6.9) позволяют получить окончательную формулу для вычисления скорости пули (вывод рабочей формулы выполнить самостоятельно). При выводе можно считать, что l» R , т. к. выстрел обычно производиться в точку, расположенную вблизи конца линейки.
Используемый в данной работе баллистический маятник представляет собой обрезок трубы с пластилином, подвешенный на четырех нитях. В нижней части маятника укреплен визир. При перемещении маятника визир передвигает измерительную планку вдоль горизонтальной миллиметровой шкалы, что позволяет измерить смещение s. На некотором расстоянии от маятника укреплено пневматическое ружьё. При выстреле скорость пули направлена по прямой, проходящей через центр тяжести маятника и перпендикулярно к оси его вращения.
Для второго опыта деревянную линейку подвешивают на оси. Выстрел производиться в коробочку с пластилином, укрепленную на конце линейки.
Задание 1. Определение скорости пули с помощью баллистического маятника
1. Знакомятся с конструкцией прибора, учатся пользоваться пневматическим ружьем.
2. Записывают исходные данные опыта: массу маятника М и расстояние R. Для выстрелов желательно использовать одну и ту же пулю, масса которой вместе с погрешностью ее измерения известны.
3. Производят 3 – 5 выстрелов. В каждом опыте записывают смещение s. Все полученные данные заносят в таблицу 6.1 отчета.
1. Расчет скорости пули проводится по формуле (6.4), в которую подставляется среднее по всем опытам значение s.
2. Выводят формулу для расчета погрешности измерения скорости пули. В качестве погрешностей измерения входящих в формулу масс берут заданные погрешности DМ и Dm. Погрешность DR выбирают, исходя из условия измерения величины R. Инструментальная погрешность измерения смещения s равна Ds = 0,5 мм.
Задание 2. Определение скорости пули с помощью физического маятника.
Измерения и обработка результатов
Баллистический маятник отводят в сторону и укрепляют на оси линейку. Методика проведения опыта аналогична той, которая используется в задании 1. Все данные заносят в таблицу 6.2. отчета.
В отчете необходимо представить рабочую формулу и формулу для расчета погрешности v.
В выводе необходимо сравнить результаты, полученные в первом и втором задании.
Изучение основных закономерностей колебательного движения физического маятника.
В эксперименте исследуется физический маятник, представляющий собой прямой стержень, колеблющийся вокруг осей, расположенных на разном расстоянии от центра тяжести стержня.
Теория
Колебания являются одним из наиболее распространенных видов движения. При достаточно малых отклонениях от положения равновесия колебания бывают обычно гармоническими.
Физическим маятником называется твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси О, не проходящей через центр масс С тела (рис. 15).
Если маятник выведен из положения равновесия на некоторый угол j, то составляющаясилы тяжести уравновешивается силой реакции оси О, а составляющая стремится возвратить маятник в положение равновесия. Все силы приложены к центру масс тела. При этом
. (7.1)
Знак минус означает, что угловое смещение j и возвращающая сила имеют противоположные направления. При достаточно малых углах отклонения маятника
из положения равновесия sinj » j, поэтому Ft» -mgj. Поскольку маятник в процессе колебаний совершает вращательное движение относительно оси О, то оно может быть описано основным законом динамики вращательного движения
, (7.2)
где М – момент силы Ft относительно оси О, J – момент инерции маятника относительно оси О, - угловое ускорение маятника.
Момент силы в данном случае равен
M = Ft×l = -mgj×l , (7.3)
где l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника.
С учетом (7.2) уравнение (7.1) можно записать в виде
(7.4)
или
, (7.5)
где
Решением дифференциального уравнения (7.5) является функция
j =j0×cos(w0t+a) , (7.6)
позволяющая определить положение маятника в любой момент времени t. Из выражения (7.6) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания (колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по законам синуса или косинуса) с амплитудой колебаний j0, циклической частотой , начальной фазой a и периодом
, (7.7)
где L = J/(mg) – приведенная длина физического маятника, т.е. длина такого математического маятника, период которого совпадает с периодом физического маятника.
Формула (7.7) позволяет определить момент инерции твердого тела относительно любой оси, если измерен период колебаний этого тела относительно этой оси.
Если физический маятник имеет правильную геометрическую форму и его масса равномерно распределена по всему объему, в формулу (7.7) можно подставить соответствующее выражение для момента инерции (Приложение 3). Например, для физического маятника, имеющего вид однородного стержня, колеблющегося вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной стержню, формула (7.7) приобретает вид
, (7.8)
где d – длина стержня, l – расстояние от оси качаний до центра тяжести стержня.
Экспериментальная установка
Применяемый в данной работе физический маятник состоит из однородного металлического стержня и опорной призмы, которая может перемещаться вдоль стержня. Можно также использовать стержень с отверстиями, с помощью которых маятник одевается на горизонтальную ось. Период колебаний маятника измеряется с помощью ручного или стационарного секундомера.
Задание 1. Изучение зависимости периода колебаний физического маятника от расстояния между осью качаний и центром тяжести маятника.
Измеряют периоды колебаний Т физического маятника при различных расстояниях l между центром тяжести и осью качаний. Шаг изменения расстояния l выбирают с таким расчетом, чтобы получить 8-10 экспериментальных точек. Число колебаний в каждом опыте 15-20. Полученные данные заносят в таблицу 7.1 отчета.
1. Вычисляют периоды колебаний маятника во всех опытах.
2. Строят график зависимости периода колебаний маятника от расстояния l.
3. График T = f(l) представляет собой кривую сложной формы. Для дальнейшей обработки его следует линеаризировать. В качестве новых переменных выбирают Т2l и l2, т. е. строят график зависимости (Т2l) = f(l2). Если экспериментальные точки ложатся на прямую с небольшим разбросом, то можно сделать вывод о правильности формулы периода колебаний физического маятника.
4. Производят обработку результатов с помощью метода наименьших квадратов (МНК).
5. Используя полученное уравнение прямой, находят величины и . Вычисляют погрешности измерения этих величин.
6. Вычисляют ускорение свободного падения g и погрешность его измерения.
7. Вычисляют длину стержня d и погрешность её измерения. Для вычисления используют раннее полученное значение g и погрешность его измерения.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
