|
|
Решение
Будем считать, что зависимость между компонентами тренд-сезонный временный ряд мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:
, (1)
где k – период упреждения;
Yр(t) — расчетное значение экономического показателя для t-гo периода;
a(t), b(t) и F(t) - коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода от членов ряда с номером t-1 к t;
F(t+k-L) - значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;
L - период сезонности (для квартальных данных L=4, для месячных – L=12).
Таким образом, если по формуле 1 рассчитывается значение экономического показателя, например за второй квартал, то F(t+k-L) как раз будет коэффициентом сезонности второго квартала предыдущего года.
Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул:
; (2)
; (3)
. (4)
Параметры сглаживания a1, a2 и a3 подбирают путем перебора с таким расчетом, чтобы расчетные данные наилучшим образом соответствовали фактическим (т.е. чтобы обеспечить удовлетворительную адекватность и точность модели).
Из формул 1 - 4 видно, что для расчета а(1) и b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего период времени (т.е. для t=1-1=0). Значения а(0) и b(0) имеют смысл этих же коэффициентов для четвертого квартала года, предшествующего первому году, для которого имеются данные в табл. 1.
Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из табл. 1. Линейная модель имеет вид:
. (5)
Метод наименьших квадратов дает возможность определить коэффициенты линейного уравнения а(0) и b(0) по формулам 6 - 9:
; (6)
; (7)
; (8)
. (9)
Применяя линейную модель к первым 8 значениям ряда из таблицы 1 (т.е. к данным за первые 2 года), находим значения а(0) и b(0). Составим вспомогательную таблицу для определения параметров линейной модели:
Таблица 2
t
Y(t)
t-tcp
Y-Ycp
(t-tcp)2
(Y-Ycp)(t-tcp)
1
28
-3,5
-7,625
12,25
26,6875
2
36
-2,5
0,375
6,25
-0,9375
3
43
-1,5
7,375
2,25
-11,0625
4
28
-0,5
-7,625
0,25
3,8125
5
31
0,5
-4,625
0,25
-2,3125
6
40
1,5
4,375
2,25
6,5625
7
49
2,5
13,375
6,25
33,4375
8
30
3,5
-5,625
12,25
-19,6875
S
36
285
0
0
42
36,5
Уравнение (5) с учетом полученных коэффициентов имеет вид: Yp(t)=31,714+0,869·t. Из этого уравнения находим расчетные значения Yр(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (табл. 3). Такое сопоставление позволяет оценить приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в табл. 1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса по формулам 1 - 4.
Таблица 3
Сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений Yp(t)
t
1
2
3
4
5
6
7
8
Y(t)
28
36
43
28
31
40
49
30
Yp(t)
32,583
33,452
34,321
35,190
306,060
36,929
37,798
38,667
Коэффициент сезонности есть отношение фактического значения экономического показателя к значению, рассчитанному по линейной модели. Поэтому в качестве оценки коэффициента сезонности I квартала F(-3) может служить отношение фактических и расчетных значений Y(t) I квартала первого года, равное Y(1)/Yр(1), и такое же отношение для I квартала второго года (т.е. за V квартал t=5) Y(5)/Yр(5). Для окончательной, более точной, оценки этого коэффициента сезонности можно использовать среднее арифметическое значение этих двух величин.
F(-3) = [ Y(1) / Yp(1) + Y(5) / Yp(5) ] / 2=[ 28 / 32,583 + 31 / 36,060 ] / 2 = 0,8595.
Аналогично находим оценки коэффициента сезонности для II, III и IV кварталов:
F(-2) = [Y(2) / Yp(2) + Y(6) / Yp(6) ] / 2 = 1,0797;
F(-1) = [Y(3) / Yp(3) + Y(7) / Yp(7) ] / 2 = 1,2746;
F(0) = [Y(4) / Yp(4) + Y(8) / Yp(8) ] / 2 = 0,7858.
Оценив значения а(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1) и F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с помощью формул 1 - 4.
Из условия задачи имеем параметры сглаживания a1=0,3; a2=0,6; a3=0,3. Рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t=l.
Из уравнения 1, полагая что t=0, k=1, находим Yр(1):
Из уравнений 2 - 4, полагая что t=1, находим:
;
;
.
Аналогично рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t=2:
;
;
;
для t=3:
;
;
;
для t=4:
;
;
;
для t=5:
Обратим внимание на то, что здесь и в дальнейшем используются коэффициенты сезонности F(t-L), уточненные в предыдущем году (L=4):
;
;
;
Продолжая аналогично для, t = 6,7,8,…,16 строят модель Хольта-Уинтерса (табл. 4). Максимальное значение t, для которого можно находить коэффициенты модели, равно количеству имеющихся данных по экономическому показателю Y(t). В нашем примере данные приведены за 4 года, то есть за 16 кваралов. Максимальное значение t равно 16.
Таблица 4
Модель Хольта-Уинтерса
t
Y(t)
a(t)
b(t)
F(t)
Yp(t)
Абс.погр.,
E(t)
Отн.погр.,
%
1
2
3
4
5
6
7
8
0
31,71
0,87
0,7858
1
28,0
32,58
0,87
0,8594
28,01
-0,01
0,02
2
36,0
33,42
0,86
1,0782
36,11
-0,11
0,32
3
43,0
34,11
0,81
1,2661
43,69
-0,69
1,60
4
28,0
35,14
0,87
0,7924
27,44
0,56
1,99
5
31,0
36,03
0,88
0,8600
30,95
0,05
0,16
6
40,0
36,97
0,90
1,0805
39,80
0,20
0,51
7
49,0
38,11
0,97
1,2778
47,94
1,06
2,17
8
30,0
38,72
0,86
19
30,97
-0,97
3,24
9
34,0
39,57
0,86
0,8596
34,04
-0,04
0,11
10
44,0
40,51
0,88
1,0839
43,68
0,32
0,73
11
52,0
41,19
0,82
1,2687
52,90
-0,90
1,73
12
33,0
42,07
0,84
0,7834
32,84
0,16
0,47
13
39,0
43,64
1,06
0,8800
36,88
2,12
5,43
14
48,0
44,58
1,02
1,0796
48,45
-0,45
0,95
15
58,0
45,64
1,03
1,2700
57,85
0,15
0,25
16
36,0
46,45
0,97
0,7783
36,56
-0,56
1,56
Проверка качества модели
Для того чтобы модель была качественной уровни, остаточного ряда E(t) (разности Y(t)-Yp(t) между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Для проверки выполнения этих условий составим таблицу 5.
Проверка точности модели
Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения abs{E(t)}, поделенное на фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах 100%·abs{E(t)}/Y(t)) в среднем не превышает 5%. Суммарное значение относительных погрешностей (см. гр. 8 табл. 4) составляет 21,25, что дает среднюю величину 21,25/16 = 1,33%.
Следовательно, условие точности выполнено.
При использовании материалов активная ссылка на источник обязательна.