Задача 1
Статистический анализ плана формирования поездов
На заданном участке полигона сети железных дорог (рис. 1.1) составить варианты плана формирования поездов и провести их статистический анализ с использованием теории вероятностей.
А Б В Г
Рис. 1.1. Схема Участка АГ
Исходные данные:
Вагоно-часы простоя под накоплением сm:
на станции А – 900 вагонов-ч;
на станции Б – 800 вагонов-ч;
на станции В – 900 вагонов-ч.
Экономия от проследования станции без переработки Тэк:
на станции Б – 4,5 ч;
на станции В – 3,5 ч.
Среднеквадратическое отклонение вагонопотоков σ = 75 вагонов.
Параметр «а» в равномерном распределении = 60 вагонов.
Среднесуточные вагонопотоки в назначении:
АГ – 150 вагонов;
АБ – 28 вагонов;
АВ – 30 вагонов;
БГ – 300 вагонов;
БВ – 50 вагонов;
ВГ – 0 вагонов;
Законы распределения вагонопотоков в назначении:
АГ – равномерное распределение;
БГ - нормальное распределение.
Решение:
Представим ступенчатый график вагонопотоков на рис. 1.2.
сm
900
800
4,5 3,5
Рис. 1. 2. Схема участка АГ и ступенчатый график вагонопотоков
Величины есть средние значения вагонопотоков. Назначение ВГ отсутствует по условию.
Известным условием выделения струи вагонопотока в самостоятельное назначение является удовлетворение её неравенству:
(1.1)
где - мощность струи вагонопотока со станции i назначением на станцию J;
- экономия от проследования без переработки сортировочных станций, расположенных между станциями назначения данной струи и более ближней смежной струи i – 1;
с - параметр накопления вагонов в сортировочном парке на составы грузовых поездов;
m - среднее число вагонов в составах грузовых поездов.
Из формулы (1.1) следует, что выделение данной струи потока в самостоятельное назначение будет эффективно во всех случаях, когда
. ( 1.2 )
Но вследствие колебаний потока мощность струи может уменьшится до величины
. ( 1.3 )
При этом она, очевидно, перестаёт удовлетворять необходимому и достаточному условиям выделения. Вероятность её появления в отдельные j-е сутки, а также вероятность появления струи, удовлетворяющей условию ( 1.2 ), может быть определена при известной функции распределения.
Для струи N1 соответствие достаточному условию начинается с величины потока:
вагонов
Необходимому условию соответствует поток:
вагонов.
Для струи N4 необходимое и достаточное условия совпадают:
По условию средние значения вагонопотоков N1 = 150 вагонов, N4 =300 вагонов, следовательно, струя N1 удовлетворяет необходимому и N4 удовлетворяет достаточному условию, а остальные, даже будучи объединены, не удовлетворяют и необходимому (N2 = 28 вагонов, N3 = 30 вагонов, N5 = 50 вагонов ).
Оптимальный план формирования по средним значениям потоков N1÷N5 представим на рис. 1.3.
N2+N5
Рис. 1.3.1 вариант оптимального плана формирования поездов
Рассмотрим теперь полигон с учётом суточных колебаний вагонопотоков. Очевидно, что достаточно располагать информацией о колебаниях двух струй потока N1 и N4.
Определим вероятности сохранения оптимальности приведённого на рис. 1.3 варианта при изменениях потоков, а также вероятности сохранения других оптимальных планов формирования поездов.
Суточные значения струи N1 распределены равномерно с параметрами вагонов, а = 60 вагонов.
Известно, что математическое ожидание случайной величины х, равномерно распределенной на участке от а до b:
. ( 1.4 )
Из формулы ( 1.4 ) найдём параметр b:
b=2*M[x]-a=2*150-60=240 вагонов.
Назначение АГ со струёй N1 будет, очевидно, эффективно для значений Nij от 113 вагонов и более (верхний предел по условию распределения – 240 вагонов, вероятность эффективности при Nij >240 равна нулю ). Вероятность этого события для равномерного распределения определим по формуле:
. ( 1.5 )
.
Суточные значения струи N4 распределены по нормальному закону с параметрами =300 вагонов и σ =75 вагонов.
Вероятность попадания случайной величины на участок от до рассчитывается по формуле:
( 1.6 )
Вероятность появления суточных размеров струи N4j≥229 вагонов, распределённой по нормальному закону распределения, рассчитаем следующим образом:
P(N4j≥229)=1-Ф((229-300)/75)=1-Ф(-0,95)=1-0,1711=0,8289.
Расчёты показывают, что по отдельности выделение струй N1 и N4 в самостоятельные назначения эффективно в большинстве случаев ( соответственно из 100 дней для N1 – в 71 день, а для N4 – в 83 дня ). Однако в целом вероятность сохранения оптимального плана, показанного на рис. 1.3, будет ниже и составит:
P1=P(N1j≥113) P(N4j≥229)=0.7056*0.8289=0.5849.
Рассмотрим, что произойдёт, если вагонопотоки N1j и N4j примут значения, меньше критических (соответственно 113 и 229 вагонов).
Сперва рассмотрим более короткое назначение БГ с потоком N4. Вероятность для N4j стать менее 229 вагонов в сутки составляет:
P(N4j<229)=1-P(N4j≥229)=1-0.8289=0.1711.
При этом по-разному складывается положение с назначением АГ. Оно может сохраниться с вероятностью 0,5323. В этом случае оптимальным будет вариант плана формирования II, показанный на рис. 1.4.
Г
N4
N2+N3
N2+N4+N5
Рис. 1.4. II вариант оптимального плана формирования поездов
Вероятность того, что такой вариант будет оптимальным:
PІІ=P(N1j≥113) P(N4j<229)=0.7056*0.1711=0.1207.
Если же оба потока будут меньше своих критических значений, то оптимальными могут быть два варианта. Так, при N1j + N4j < 229 план формирования не будет иметь ни одного сквозного назначения ( вариант III, рис. 1.5 ).
Рис. 1.5. III вариант оптимального плана формирования поездов
Вероятность ІІI варианта посчитаем следующим образом.
Допустим N1j=X и N4j=Y. Тогда вероятность совмещения событий N1j+N4j<229 может быть уподоблена вероятности попадания точки M(X,Y) в определённую площадь, ограниченную осями координат и прямой с уравнением X+Y=229 (рис. 1.6), при известных законах распределения координат X и Y. Для этого треугольник Oab разбивается на элементарные прямоугольники со сторонами, параллельными осям координат.
Вероятность попадания точки в первый прямоугольник с (площадь треугольника, не попадающего в область допустимых значений, равна площади треугольника abo,) равна произведению вероятностей 0<X1<39 и 0<Y1<209,5. При этом, так как параметр X распределён по равномерному закону на отрезке (60; 240), то вероятность в данном случае равна 0.
P1=0
Вероятность попадания точки во второй прямоугольник равна произведению вероятностей 39<X<77 (учтём, что при X<60 вероятность первого множителя нулевая, поэтому нижний предел в данном случае 60 вагонов ) и 0<Y<171:
P2=[(77-60)/(240-60)]*[Ф((171-300)/75)-Ф((0-300)/75)]=
=0.0944*[Ф(-1,72)-Ф(-4)]= 0,0944*(0,0427-0)=0,0040.
Y
229
a
b,
190
o,
b,, 209.5
a,
152
171
114
133
76
95
38
57
19
B
O 39 77 115 153 191 229 X
Рис. 1.6. Замена площади треугольника площадью ряда прямоугольников для определения вероятности попадания точки M(X,Y) в треугольник Oab, ограничённый осями координат и отрезком прямой X+Y=229
Рассчитаем аналогично другие составляющие вероятности попадания точки M(X,Y) в площадь, ограниченную осями координат и прямой с уравнением X+Y=229:
Р3=[(115-77)/(240-60)]*[Ф((133-300)/75)-Ф((0-300)/75)]=
=0.2111*[Ф(-2,23)-Ф(-4)]=0.2111*(0.0139-0)=0.0029.
P4=[(153-115)/(240-60)]*[Ф((95-300)/75)-Ф((0-300)/75)]=
=0.2111*[Ф(-2,73)-Ф(-4)]=0.2111*(0.0035-0)=0.0007.
P5=[(191-153)/(240-60)]*[Ф((57-300)/75)-Ф((0-300)/75)]=
=0.2111*[Ф(-3,24)-Ф(-4)]=0.2111*(0.0006-0)=0.0001.
P6=[(229-119)/(240-60)]*[Ф((19-300)/75)-Ф((0-300)/75)]=
=0.2111*[Ф(-3,75)-Ф(-4)]=0,2111*(0,0001-0)=0.
Суммарная вероятность попадания точки M(X,Y) в треугольник равна сумме вероятностей её попадания в отдельные прямоугольники:
РIII= Р1+ Р2+ Р3+ Р4+ Р5+ Р6= 0+0,0004+0,0029+0,0007+0,001+0=0,0077.
N1+N4
Рис. 1.7. IV вариант оптимального плана формирования поездов
Вероятность IV варианта:
РIV = 1-( РI + РII + РIII ) = 1-( 0,5849 + 0,1207 + 0,0077 ) = 0,2867.
На основании проведённого статистического анализа плана формирования поездов можно сделать следующие выводы.
Первый вариант плана формирования поездов, рассчитанный по средним значениям вагонопотоков, будет оптимальным 213 дней ( 0,5849*365 = 213 ), то есть больше половины года. Несколько меньше трети года – 105 дней – будет выгодно применение четвёртого варианта плана формирования ( 0,2867*365 = 105 ). В остальные дни с вероятностью 0,1207 выгодно применение второго варианта плана формирования ( 44 дня ); с вероятностью 0,0077 – третий вариант ( 3 дня ). Это означает, что для соблюдения оптимального режима работы по организации вагонопотоков на полигоне АГ целесообразно иметь двухвариантный план формирования поездов ( I и IV варианты ).
Зная критические значения вагонопотоков, необходимо организовать их суточный прогноз и в соответствии с ним строить работу по формированию поездов.
Задача 2
Имитационное моделирование входящего на станцию поездопотока
Часовая интенсивность поступления поездов на станцию - 5 поезд/час.
Параметр Эрланга в распределении интервалов между прибытием поездов на станцию - 3.
Доля грузовых поездов, поступающих в расформирование - 30%.
Процентное соотношение числа грузовых поездов, поступающих с направлений:
А - 18%;
Б - 22%;
В - 28%;
Г - 32%.
Среднее число вагонов в составах грузовых поездов - 48 вагонов.
Среднеквадратическое отклонение числа вагонов в составах грузовых поездов - 15 вагонов.
В настоящей задаче требуется смоделировать:
· интервалы между прибытием поездов на сортировочную станцию (и на их основе разработать график поступления грузовых поездов в течение суток);
· направления, с которых прибывают поезда;
· категории поступающих поездов (транзитные грузовые с переработкой и транзитные грузовые, проходящие станцию без переформирования);
· величины составов прибывающих грузовых поездов (число вагонов).
Сведения о значении порядка распределения Эрланга, который является величиной, обратной квадрату коэффициента вариации интервалов между поступлением поездов на станцию, а также об интенсивности поездопотока позволяют с помощью таблицы случайных чисел смоделировать эти интервалы по формуле:
,
где 60 - коэффициент перевода часов в минуты;
k - параметр распределения Эрланга;
- часовая интенсивность прибытия грузовых поездов на сортировочную станцию, поезд-ч;
- случайное число, равномерно распределенное в интервале [0.1].
Моделирование произведём следующим образом:
Прибытие первого грузового поезда на станции - в 18:00.
Из таблицы случайных чисел произвольно выберем и перемножим 3 числа (возьмём числа из 2, 3 и 4 столбцов, затем из 5, 6 и 7 столбцов, а потом из 8, 9 и 10 столбцов). Затем возьмём натуральный логарифм произведения и умножим на коэффициент -(60/(3*5)), который считается постоянным для каждой конкретной сортировочной станции. Полученный результат округлим до целой величины и прибавим к предыдущему времени прибытия грузового поезда.
= -(60/(3*5))1n(0,6380*0,8199*0,4118)=6 мин.
Второй поезд считается прибывшим в 18:06.
= -(60/(3*5))1n(0,5138*0,1904*0,8227)=10 мин.
Третий поезд поступит на сортировочную станцию в 18:16 и т. д. до конца расчётных суток (до 18 часов следующих суток).
Расчёт интервала проведён в Приложении 2.
Моделирование категории поезда произведём путём построения оси вероятностей и также с использование таблицы случайных чисел. На рис. 2.1 показана ось вероятностей, когда 30% грузовых поездов проходят сортировочную станцию с переформированием.
с/п б/п
0 0,3 1
Рис. 2.1. Ось вероятностей для моделирования категории грузовых поездов
Поскольку случайные числа распределены равномерно в интервале [0.1], то при многократном повторении эксперимента около 30% чисел попадут в интервал от 0 до 0,3 и около 70% - в интервал от 0,3 до 1.
Принимая последовательность случайных чисел по первому столбцу таблицы случайных чисел (после первого используем третий и пятый столбцы), видим, что первое 0,6340 попадает в интервал от 0,3 до 1, что соответствует прибытию на сортировочную станцию транзитного грузового поезда без расформирования и т. д.
Моделирование категории грузовых поездов произведено в Приложении 3.
Аналогичным образом произведём моделирование и направлений подхода грузовых поездов. Для этого построим ось вероятностей, когда 18% грузовых поездов поступают с направления А, 22% - с направления Б, 28% - с направления В, и 32% - с направления Г ( рис. 2.2. ).
0 0,18 0,4 0,68
Страницы: 1, 2