Многие задачи математической физики, теории упругости, гидродинамики сводятся к отысканию решения дифференциального линейного уравнения, что, в свою очередь, приводит к задаче отыскания решения уравнения Аx = y с линейным оператором А.

Основными вопросами, на которые призвана отвечать теория операторов, являются, во-первых, вопросы качественного характера и, во-вторых, вопросы, касающиеся приближенных методов решения операторных уравнений. В настоящей работе исследуются лишь некоторые вопросы. Например, такие вопросы, как: оценки позитивного спектра линейного неразложимого оператора, сравнение спектральных радиусов двух положительных операторов, и др.

Актуальность работы. Возможность существования непрерывного спектра является характерной чертой линейных операторов общего вида в бесконечномерном пространстве. Конечномерные линейные преобразования и интегральные операторы без особенностей не имеют непрерывного спектра.

Спектральный анализ операторов, в первую очередь самосопряженных, находит многочисленные применения в теории колебаний, теории стационарных случайных процессов, квантовой механике, дифференциальных и интегральных уравнениях, и др. областях математики и математической физики.

Цели дипломной работы. На базе ранее изученных дисциплин обобщить знания по математическим дисциплинам, обобщить теоретические знания и практические навыки; рассмотреть основы теории линейных операторов и методы решения операторных уравнений, рассмотреть оценки спектральных радиусов интегральных операторов, получить оценки позитивного спектра линейного неразложимого оператора.

Изучив имеющийся материал по данной теме, я поставила перед собой следующие задачи:

1. раскрыть некоторые основы теории линейных операторов, необходимые для освоения методов решения операторных уравнений;

2. изучить понятие спектра для интегрального оператора, обобщить известное понятие неразложимости на более широкий класс операторов (-неразложимые, неразложимые нелинейные операторы).

3. Оценить спектральный радиус интегрального оператора для операторных уравнений с операторами различной природы.

Новизна работы. В работе приведены оценки спектральных радиусов линейных положительных полукоммутирующих операторов.

Дипломная работа состоит из введения, трех глав и списка использованной литературы. В работе для целостности изложения приведен ряд известных результатов, которые сопровождаются ссылками.

В первой главе содержатся необходимые теоретические знания, касающиеся теории операторов, различных видов операторов, рассмотрены их основные свойства. Параграф второй содержит понятие конуса, основные виды и свойства конусов, т.к. в пространствах с конусами очень удобно рассматривать интегральные операторы. В этом параграфе понятие конуса рассматривается также с экономической точки зрения.

Параграф 4 содержит сведения, касающиеся интегральных уравнений с вырожденным ядром и уравнений типа свертки.

Вторая глава посвящена рассмотрению вопросов, связанных с исследованием вычисления спектрального радиуса интегрального оператора. Рассматривается понятие спектрального радиуса линейного оператора, в терминах этого понятия приводятся важнейшие теоремы существования неотрицательного решения соответствующих моделей математической экономики (модель Леонтьева, модель Леонтьева-Форда, обобщенная модель Леонтьева-Форда). Исследуются вопросы, связанные со сравнением спектральных радиусов двух положительных операторов. Рассматриваются оценки спектральных радиусов двух интегральных операторов различной природы, приведены примеры, иллюстрирующие эти результаты. Также приведены новые оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора.

В главе III изучается влияние взаимного расположения особенностей ядра интегрального оператора на его норму, спектральный радиус. Рассмотрены верхние и нижние оценки интегральных операторов. На основе этих неравенств вводится отношение частичного порядка, позволяющее в некоторых случаях сравнивать нормы интегральных операторов. Рассмотрены оценки нормы интегрального оператора в пространствах Лебега и Лоренца, автором сформулировано замечание к теореме для трехпараметрического пространства Лоренца.

Глава I

Интегральные операторы

§ 1. Операторы

При рассмотрении отображений пространств в функциональном анализе используют понятия операторов и функционалов [9], [14], [30].

Под операторами понимают отображения, ставящие в соответствие функции другую функцию.

Под функционалами понимают функции, отображающие элементы линейного пространства в его пространство скаляров.

Значительное число задач, встречающихся в математике и ее приложениях, могут рассматриваться как конкретные примеры операторных уравнений.

Пусть X и Y – линейные пространства, оба вещественные или оба комплексные.

Определение. Оператор А: X → Y с областью определения D(А) называется линейным, если

А(λ1x1 + λ2x2) = λ1А(x1) + λ2А(x2)

для любых x1,x2 Î D и любых скаляров λ1 и λ2.

Пусть X и Y – нормированные пространства и А: X → Y, где А – линейный оператор, всюду заданный в X (т.е. D(А) = X).

Определение. Оператор А называется непрерывным в точке x0 Î X, если Аx → Аx0 при x → x0. Но судить о непрерывности линейного оператора в различных точках x0 Î X можно по непрерывности его в нуле пространства X.

Введем в рассмотрение банахово пространство [3]. Банаховым пространством называется полное нормированное векторное пространство.

Теорема 1. Пусть линейный оператор А всюду задан в банаховом пространстве E, и со значениями в банаховом пространстве Y непрерывен в точке 0Î E; тогда А непрерывен в любой точке x0 Î E.

Доказательство.

Рассмотрим равенство Аx – Аx0 = А (x – x0). Если x → x0, то z = x – x0 → 0. По непрерывности в нуле Аz → 0, но тогда Аx – Аx0 → 0, что и требовалось доказать.

Определение. Линейный оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в точке x=0.

Пусть S1(0) – замкнутый шар ||x|| ≤ 1 в банаховом пространстве E.

Будем называть линейный оператор А: X→Y ограниченным, если он ограничен на единичным шаре S1(0), т.е. если ограничено множество

Согласно определению, если А ограничен, то существует постоянная с > 0 такая, что для любых x, ||x|| ≤ 1 справедливо неравенство

||Аx|| ≤ с (1)

Теорема 2. Если - линейный оператор, то следующие утверждения эквивалентны:

1) существует точка , в которой оператор A непрерывен;

2) оператор A непрерывен;

3) оператор A ограничен;

4) величина конечна.

Теорема 3. А ограничен тогда и только тогда, когда справедлива оценка

||Аx|| ≤ с ||x|| (2)

для любых x ÎE, где с – постоянная.

Теорема 4. Пусть А: X → Y, А – линейный оператор, X, Y – банаховы пространства. Для того чтобы А был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.

§ 2. Конусы

Из теоремы 2, предыдущего параграфа следует, что величина тесно связана с непрерывностью оператора A [4].

Лемма. Для любого линейного оператора A справедливы равенства

Доказательство.

Введем обозначения

и последовательно докажем цепочку неравенств . Каждая из величин и может равняться не только неотрицательному вещественному числу, но и плюс бесконечности.

Неравенство очевидно, поскольку в обеих частях неравенства супремум берется от одной и той же величины ,но при вычислении множество допустимых значений x шире.

Чтобы убедиться в справедливости неравенства , заметим, что для любого мы имеем

а значит, и супремум выражения , вычисленный по всем ,не превосходит β, т.е. справедливо неравенство , что и требовалось доказать.

Чтобы проверить неравенство , заметим, что для любого и такого, что , имеем .

Если же x=0, то . Поэтому , что и требовалось доказать.

Определение. Общее значение выражений

(3)

называется нормой оператора A и обозначается через .Такое название объясняется тем, что, как показывает cледующая теорема, величина действительно обладает свойствами нормы: она неотрицательна, положительно однородна и для нее справедливо неравенство треугольника.

Будем рассматривать банахово пространство , полуупорядоченное конусом , и оператор произвольной природы, действующий в [29].

Определение. Выпуклое множество называется конусом, если вместе с каждой своей точкой оно содержит луч, проходящий через , и если из вытекает, что (лучом, проходящим через точку , называется совокупность точек ).

Определение. Конус называется телесным, если он содержит внутренние элементы. Если любой элемент пространства может быть представлен в виде , то конус называется воспроизводящим. Конус называется нормальным, если из неравенства следует, что , где – константа нормальности, не зависящая ни от , ни от .

Определение. Множество функционалов сопряженного пространства , принимающих неотрицательные значения на элементах конуса , называется сопряженной полугруппой. Для того чтобы полугруппа была конусом, приходится налагать дополнительные условия на конус .

Будем говорить, что является квазивнутренним элементом, и обозначать , если для каждого ненулевого функционала выполняется неравенство . Положительный линейный оператор назовем неразложимым, если для любого из неравенства , следует, что .

В соответствии с [44], условимся писать, что , если .

В случае конечномерных пространств с конусом, составленном из векторов с неотрицательными компонентами, линейные положительные операторы определяются матрицами с неотрицательными элементами.

Полугруппа (конус) К называется нормальной (нормальным), если существует такое постоянное число N, что для всех x, y Î E, удовлетворяющих соотношению

q £ x £ y,

имеет место неравенство

||x|| £ N||y||.

В этом случае говорят, что норма в Е полумонотонна.

Конусы неотрицательных функций в пространствах С, Zp нормальны. Нормальны также все конусы в конечномерных пространствах. Не каждый конус обладает свойствами нормальности. Например, конус неотрицательных функций в пространстве с нормой

не обладает свойством нормальности.

Пространство, в котором каждая ограниченная монотонная последовательность имеет предел, называется правильно полуупорядоченным. Конус, который порождает правильную полуупорядоченность будем назвать правильным.

Определение. Конус К назовем вполне правильным, если каждая монотонная ограниченная по норме последовательность сходится (по норме) к некоторому пределу.

Известно (см. [28], [30]), что каждый вполне правильный конус является правильным, каждый правильный конус является нормальным, конусы в конечномерных пространствах Rn являются вполне правильными. В конечномерном пространстве каждый воспроизводящий конус обладает свойством телесности.

Приведем еще один крайне важный класс конусов. Прежде отметим следующее определение.

Определение. Пусть x, y – какие-либо два элемента полуупорядоченного пространства Е. Точной верхней гранью элементов x, y назовем такой элемент u = sup{x, y}, который обладает свойствами:

10. u ³ x, u ³ y;

20. для всякого элемента w:

w ³ x, w ³ y

следует, что

u £ w,

т.е. sup{x, y} является верхней гранью элементов х и у одновременно, причем это -наименьшая из всех верхних граней этих элементов.

Определение. Если в полуупорядоченном пространстве Е для каждой пары элементов х, у существует sup{x, y}, то конус К называется миниэдральным (в дословном переводе этот термин означает, что конус имеет минимально возможное число граней).

Примерами миниэдральных конусов являются конусы векторов с неотрицательными координатами в пространствах Rn, конусы неотрицательных функций в пространствах С[a,b], , конусы неотрицательных последовательностей в пространствах lp (р ³ 1), т – ограниченных числовых последовательностей и некоторые другие.

Для миниэдральных конусов, наряду с понятием точной верхней грани элементов х, у, вводится понятие точной нижней грани элементов х, у, т.е. inf{x, y}. Приведем соответствующее определение.

Определение. Для данных элементов х, у из Е, Е – полуупорядоченное пространство, точной нижней гранью назовем такой элемент v = inf{x, y}, который обладает свойствами:

10. v £ x, v £ y;

20. для всякого элемента w1:

w1 £ x, w1 £ y

выполняется неравенство

v ³ w1,

т.е. w – это наибольшая из всех нижних граней элементов х, у.

Развитием понятия миниэдральности конуса является понятие сильной миниэдральности конуса К.

Определение. Конус К называется сильно миниэдральным, если для каждого ограниченного сверху по конусу К множества элементов М существует точная верхняя грань.

Ясно, что каждый миниэдральный конус является сильно миниэдральным. Обратное не верно, т.е. конус может быть миниэдральным, не будучи сильно миниэдральным. Миниэдральные конусы обладают рядом замечательных свойств, теория полуупорядоченных пространств с сильно миниэдральными конусами выделена в специальный раздел функционального анализа, который называется теорией структур. Основы теории структур были заложены в работах известного математика Биркгофа [5], [15].

Определение. Критерием качества К мы назовем любой критерий сравнения векторных величин x, y, который удовлетворяет следующим свойствам (аксиомам):

. Если , то при всяком и при ; при этом, если и , то для элемента (-х) соотношение нарушается;

. Если и , то .

Критерий качества К будем называть отношением предпочтения. Множество всех элементов х, являющихся предпочтительнее нулевого элемента , будем называть конусом.

Отметим, что из перечисленных свойств , критерия качества вытекают следующие важные свойства конуса К:

1) если и , то при и при < 0;

2) из uKи v K следует, что (u + v) K;

3) если х К и (-х) К, то х = .

При наличии в конуса К у нас появляется возможность устанавливать отношение предпочтения > для некоторых (не для всех) пар х, у элементов, если условиться считать, что х у в том и только в том случае, если (х - у) К. Отметим при этом, что все приведенные выше свойства , соблюдаются.

Пример конуса в множестве n-мерных векторов - это множество векторов с неотрицательными координатами, этот конус принято обозначать через Хотя понятно это не единственный пример конуса в . Так в случае n = 3 это множество векторов первого октанта, хотя в можно рассматривать и другие примеры конусов, например «круглый» конус (см. рис.1). Каждый конус можно описать аналитически с помощью системы функций и неравенств. Например, конус можно описать аналитически с помощью системы линейных неравенств:

Страницы: 1, 2, 3