Тогда
,
следовательно - собственный вектор оператора , . Т.к. - неразложим, то согласно теореме о единственности (с точностью до нормы) собственного вектора у неразложимого оператора [29]:
где .
Тем самым у оператора есть собственный вектор . Т.е. получаем, что у операторов и есть общий собственный вектор .
Теорема доказана.
Важным моментом в доказанной теореме является то, что телесность конуса не предполагается.
Теорема 4. Пусть дана некоторая коммутативная совокупность линейных положительных операторов, из которых хотя бы один является неразложимым. Тогда найдется положительный функционал , такой, что для всех , где для каждого . При этом .
Доказательство.
На основании предыдущей теоремы, можем утверждать, что все операторы из имеют общий собственный вектор (), причем .
является собственным значением соответствующего оператора и собственным значением сопряженного оператора , которому отвечают собственный вектор оператора и собственный функционал оператора , где - сопряженная к полугруппа. Из результатов [22], следует, что сопряженные операторы также составляют коммутирующую совокупность линейных положительных операторов . Таким образом, получим
и .
Приведем достаточно известный [22] результат.
Теорема 5. Если , то уравнение
(19)
имеет единственное решение
которое является пределом последовательных приближений
(20)
при любом .
Замечание. Сходимость последовательных приближений (20) равносильна тому, что решение (19) может быть представлено сходящимся по норме рядом Неймана
.
Перейдем к рассмотрению строгих оценок.
Теорема 6. Пусть и - линейные положительные операторы, действующие в пространстве , причем они коммутируют, т.е. , и пусть оператор - неразложим и хотя бы на одном фиксированном элементе конуса выполнено неравенство
, ().
Пусть выполнено одно из условий:
1) вполне непрерывен, - квазивнутренний элемент ;
2) конус телесный и нормальный, - внутренний элемент ;
3) оператор -ограничен сверху, конус воспроизводящий и нормальный;
4) оператор -ограничен сверху, конус воспроизводящий и нормальный, - квазивнутренний элемент ;
5) оператор допускает представление
где - вполне непрерывен, , конус воспроизводящий и нормальный, - квазивнутренний элемент ; существует такой элемент , что .
Тогда справедливо строгое неравенство
В силу теоремы 5 уравнение
имеет решение
Очевидно, что это решение удовлетворяет неравенству
. (21)
Т.к. - неразложим, то из неравенства (21) следует, что - квазивнутренний элемент . Поэтому при любом ненулевом выполнено неравенство
. (22)
В условиях нашей теоремы существует такой ненулевой функционал , что . На основании теоремы 3 найдется такой собственный элемент оператора , отвечающий собственному значению , который будет также собственным элементом оператора , отвечающим некоторому собственному значению оператора . Тогда
и из (22) вытекает
Откуда
Замечание 1. Теорема 6 верна также и в том случае, когда операторы и полукоммутируют, т.к. если операторы и полукоммутируют, и оператор неразложим, то имеет место равенство:
т. е. операторы и коммутируют.
Замечание 2. Используя равенство
можно расширить возможности получения оценок спектрального радиуса: если некоторая степень удовлетворяет условиям теоремы 5, то из неравенства
вытекает оценка
Пример. Рассмотрим матрицу и вектор пространства , а также матрицу , коммутирующую с матрицей :
В то время как точное значение спектрального радиуса: .
Заметим, что использование коммутирующего оператора способствовало уточнению оценки . Действительно, если в примере воспользоваться неравенством (7), то , и тогда, учитывая (8), получим , а эта оценка намного хуже оценки .
§ 2. Оценки спектрального радиуса интегрального оператора
Существует большое количество результатов по оценке спектрального радиуса матричного оператора. Обзор результатов приведен, например, в работе [26]. Стеценко В.Я. в [29] развил некоторые из оценок на интегральные операторы. Следующая теорема является развитием второго метода Островского для интегральных операторов [26].
Теорема 1 . Пусть - матричное ядро. . Функции , заданны в квадрате , за исключением прямой t=s, , . Пусть r=-спектральный радиус матричного интегрального оператора .Тогда
, где p>0, q>0, 1/p + 1/q =1,
где
. (1)
Рассмотрим систему
. (2)
Так как - спектральный радиус оператора А, то система линейных однородных уравнений относительно неизвестных имеет ненулевое решение. Выберем решение так, чтобы
(3)
Представим (4)
Вычтем почленно из (2) тождество (4):
Так как , то , таким образом:
Применяя неравенство Гельдера для интегралов, и учитывая, что ,
получим:
=
согласно (4)
учитывая (1) и (3)
Возведем обе части в степень q.
, тогда
Проинтегрируем по t
учитывая (3) получим:
или
Докажем еще одну теорему, которая является неравенством Фарнелла для интегральных операторов.
Теорема 2. Пусть -непрерывное матричное ядро . Тогда функции , заданные для , порождают действующий и вполне непрерывный оператор в пространстве
Пусть -спектральный радиус матричного интегрального оператора в пространстве,
, ,
докажем, что
Для доказательства теоремы рассмотрим систему
. (5)
Эта система имеет ненулевое решение. Выберем решение так, чтобы
(6)
Умножим обе части уравнения (5) на . Получим
. (7)
С учетом (5) ,
тогда (7) запишется следующим образом:
(8)
Умножим обе части выражения (8) на , получим
. (9)
Проинтегрируем обе части выражения (9) по
Учитывая (6),получим
Из неравенства Гельдера для
получим
Следовательно,
Получена еще одна оценка сверху для спектрального радиуса интегрального оператора.
§3. Новые оценки спектрального радиуса линейного
положительного оператора
В данном параграфе предлагается дальнейшее развитие оценок спектрального радиуса линейного положительного оператора, заключающееся в том, что сравнивается значение элемента со значением комбинации элементов , где - специальным образом подобранный оператор, причем для получения оценок достаточно знать оценку , а не его точное значение. Результаты, полученные в этом параграфе, являются продолжением работ [11], [18], [26], [29].
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Пусть воспроизводящий и нормальный конус, и - линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть - неразложим. Если для некоторого и выполняется неравенство
, (1)
то
Если для верна оценка , тогда
Существует такой функционал , что
и ,
где - собственное значение оператора , соответствующее функционалу . Применим функционал к (1):
Т.к. оператор - неразложим, то данный функционал принимает положительные значения на ненулевых элементах конуса [29]. Поэтому
Заменив на , мы только усилим неравенство (т.к. ):
Первое утверждение теоремы доказано. Из последнего неравенства очевидным образом следует неравенство (2). Теорема доказана.
Пример 1. Рассмотрим матрицу и вектор пространства , а также матрицу , коммутирующую с матрицей :
; ; ; ,
поэтому , и . Все условия теоремы 1 выполнены, следовательно , т.к. , то имеем . В то время как .
При получим известную теорему Стеценко В.Я. [20]:
Пусть оператор неразложим и , K - телесный и нормальный конус, и для некоторого элемента выполняется неравенство , тогда справедливо неравенство .
Эта теорема является частным случаем теоремы 1.
Кроме того, заметим, что использование коммутирующего с оператором оператора способствовало уточнению оценки . Действительно, если в примере 1 предположить , то , и тогда , а эта оценка намного хуже оценки .
Аналогично теореме 1 доказывается следующая теорема.
Теорема 2. Пусть - воспроизводящий и нормальный конус, и - линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть - неразложим, и для некоторого выполняется неравенство
где , . Тогда
Теорема 3. Пусть воспроизводящий и нормальный конус, и линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть - неразложим. Пусть для некоторого выполняется неравенство
, (3)
где , . Тогда верна оценка:
где - наименьшее позитивное собственное значение оператора .
Применим к (3) функционал из теоремы 1:
Т.к. , то заменив в последнем неравенстве на , только усилим его:
таким образом . Теорема доказана.
Следствие (к теореме 3). Если в условиях теоремы 3 предположить, что оператор также неразложим, тогда будет верна оценка:
Теорема 4. Пусть воспроизводящий и нормальный конус, и линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е.. Пусть - неразложим, и пусть для некоторого выполняется неравенство
, . Если спектральный радиус оператора известен и , то
Если для известна оценка и выполняется неравенство , тогда имеет место оценка: .
Как и при доказательстве теоремы 1, придем к неравенству
. (4)
Предположим, что , тогда, усиливая неравенство (4), получим
что противоречит предположению. Остается принять, что . Усиливая неравенство (4), получим
Первое утверждение теоремы доказано. Заменяя в неравенстве (4) на большее число , повторим рассуждения и получим второе утверждение теоремы. Теорема доказана.
Теорема 6. Пусть воспроизводящий и нормальный конус, и линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть - неразложим и для некоторого выполняется неравенство
, . Если наименьшее позитивное значение оператора известно и , то
Если для известна оценка , и выполняется неравенство , тогда имеет место оценка: .
Доказательство теоремы 5 вполне аналогично доказательству теоремы 4.
Следствие (к теореме 5). Если в условиях теоремы 5 предположить, что оператор также неразложим, спектральный радиус оператора известен и , тогда верна оценка:
Теорема 6. Пусть воспроизводящий и нормальный конус, и линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть - неразложим. Если для некоторого выполняется неравенство
где , и , то верна оценка:
Аналогично тому, как это было сделано в теореме 1, приходим к неравенству
, (5)
из которого следует, что . Действительно, предположив противное, т.е. предположив, что , и усилив неравенство (5), получим
что противоречит условию. Остается принять, что . Усиливая неравенство (5), получим , откуда следует
Эти результаты были описаны в работах ([26], [29]). Важным моментом доказанных теорем является то, что телесность конуса не предполагается.
Глава III.
Интегральные операторы в пространствах Лебега и Лоренца
§1. Пространства Лебега и Лоренца
Введем понятие группы преобразований [5]. Пусть есть два преобразования f и g. G называется группой, если для любых f и g, таких, что выполняются следующие условия:
1. ;
2. (I - единичное преобразование, );
3. (-обратное преобразование).
Очевидно, преобразования вида образуют группу. Для любых преобразований группы Лоренца скалярное произведение двух векторов является инвариантом. Если X и - тензоры, то инвариантом группы Лоренца будет
Так же инвариантом группы Лоренца является ранг тензора.
Еще одно очевидное свойство любого преобразования группы Лоренца: .
Рассмотрим положительно определенные формы. Докажем следующую теорему.
Теорема 1. Пусть
Для xi из области R, определенной соотношениями
(2)
Тогда для
Применим метод квазилинеаризации, покажем, что
, (4)
где S(z) – область, определенная соотношениями
(5)
Применяя неравенство Гельдера, получаем
Пусть , Лебеговским функциональным пространством называется совокупность всех вещественнозначных (соответственно - комплекснозначных) измеримых по Лебегу функций (соответственно - ) [14], таких, что интегрируема на X, т.е.
Число
называется нормой функции f в пространстве Lp(X). Для компактного метрического пространства X размерность Лебега определяется как наименьшее целое число n, обладающее тем свойством, что при любом существует конечное открытое покрытие X, имеющее кратность.
При этом:
· покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр;
· кратностью конечного покрытия пространства X называется такое наибольшее целое число k, что существует точка пространства X, содержащаяся в k элементах данного покрытия.
Наиболее важными свойствами лебеговских пространств являются следующие [17], [23]:
1). (Неравенство Гельдера). Пусть p>1, q>1, 1/p+1/q=1 и , . Тогда , и выполнено неравенство , т. е. .
2). (Неравенство Минковского). Если и , то ,и имеет место неравенство , т. е. .
Приступая к доказательству неравенства Минковского, заметим, что при p=1 оно очевидно. Если p>1, то можем написать
Найдем положительное число q из условия 1/p+1/q=1 и применим неравенство Гельдера к каждому из интегралов, стоящих в правой части последней формулы. Тогда
Последнее равенство здесь написано в силу того, что q(p-1)=p.
Разделив начальный и конечный члены полученного неравенства на
и учтя, что 1-1/q=1/p, получим
что и завершает доказательство неравенства Минковского.
Следующее свойство лебеговских функциональных пространств существенно опирается на неравенство Минковского:
3). Для любого пространство Lp(X) с введенной выше нормой является линейным нормированным пространством.
Для доказательства заметим, что если , то для любого числа функция лежит в Lp(X) (что очевидно), и f+g лежит в Lp(X) (в соответствии с неравенством Минковского). Неотрицательность нормы очевидна. Условие только при f=0 выполняется, в силу принятого в теории интеграла Лебега соглашения, что функция f равна нулю на множестве X , если и только если f(x)=0 для почти всех . Неравенство треугольника для нормы выполняется в силу неравенства Минковского. Положительная однородность нормы видна непосредственно из определения (2).
Конструкция интеграла Лебега ценна не столько тем, что она позволяет расширить класс интегрируемых функций по сравнению с интегралом Римана (известны еще более общие конструкции интеграла), сколько тем, что интеграл Лебега обладает наиболее естественными и удобными свойствами. Одно из них, принимаемое нами без доказательства, таково:
4). (Полнота лебеговских пространств). Для любого линейное нормированное пространство Lp(X) является полным, другими словами - всякая фундаментальная последовательность функций из Lp(X) сходится к некоторой функции из Lp(X) , т.е., если и для каждого существует номер no такой, что для всех выполняется неравенство , то существует функция такая, что при .
5). (Плотность бесконечно дифференцируемых функций в Lp(X)). Для любого множество бесконечно дифференцируемых функций плотно в Lp(X), иными словами - для любой функции и любого найдется функция такая, что .
6). (Сепарабельность лебеговских пространств). Для любого пространство Lp(X) сепарабельно, иначе говоря, в Lp(X) существует счетное плотное множество функций.
§2. Условия ограниченности интегрального оператора в
пространствах Лоренца
Пусть
(7)
- интегральный оператор в пространстве . Вычисление или получение оценок нормы оператора Т является важной и сложной задачей теории операторов [19]. Так, если Т(x,y) – симметричное ядро, то норма интегрального оператора в совпадает с его спектральным радиусом, который, в свою очередь, в приложениях связан с резонансными явлениями описываемых объектов. В связи с этим, нужно не только вычислять, но и как-то «управлять» нормой оператора.
Рассмотрим достаточные условия ограниченности интегрального оператора (7), действующего из пространства в . Обозначим через функцию множеств
Имеет место
Лемма 1. ([19]) Пусть - пространство Лоренца, М – множество всех компактов из области G. Тогда
~.
Теорема 2. Пусть , , , . Функция T(x,y) такова, что конечно одно из выражений
Тогда соответствующий интегральный оператор Т ограничен из в , и
(10)
Если же или , то, соответственно,
~, . (11)
Пусть . Из леммы следует
~
Применим неравенство Гельдера для пространств Лоренца и лемму 1:
Пусть теперь . Из теоремы И. Стейна и Г. Вейса [28] следует, что
≤ .
Воспользуемся леммой 1, получим
≤.
Но при
≤≤.
Таким образом, верно
. (12)
Докажем теперь неравенство
. (13)
Пусть . Из определения нормы интегрального оператора, неравенства Гельдера и леммы 1 при следует
При , следовательно, оценка (13) в этом случае следует из (12).
Докажем вторую часть теоремы. Пусть , , тогда
Таким образом, из леммы 1 следует,
Если теперь , то, так же используя лемму 1, получим
Теорема 3. Пусть . Если
(14)
то интегральный оператор Т ограничен из в и
причем в случае условие (14) является необходимым.
Пусть е – произвольный фиксированный компакт положительной меры, - соответственно невозрастающие перестановки f(x) и . Пусть ,
Воспользуемся представлением
Применим неравенство Гёльдера с показателями :
Последовательно применяя замену , неравенство Минковского и замену , получим
Во внутреннем интеграле оценим
При , т.е. , необходимость условия (14) следует из теоремы 2.
§ 3. Обобщенное неравенство Юнга – О’Нейла
Следствие (обобщенное неравенство Юнга – О’Нейла). Пусть , , тогда
Достаточно доказать неравенство
Имеем:
Следствие доказано.
Пусть Q- единичный куб в . Для интегрального оператора
определим функцию
(15)
Тогда согласно теоремам 2 и 3 имеет место соотношение
. (16)
Оценки, приведенные в этом соотношении, точны относительно параметров p и q. Так, для произвольного найдется , что
и
Действительно, из (16)
Второе неравенство доказывается аналогично.
В соотношении (16) функция непосредственно зависит от ядра интегрального оператора Т. Функционалы же, действующие на функцию , зависят лишь от параметров p и q.
Замечание: Если рассматривать пространства и как пространства Лоренца и , то в трехпараметрических пространствах Лоренца , получаем соотношения с точностью до вторых параметров:
где и - монотонные функционалы, зависящие только от параметров p и q, функция определена равенством (15).
Таким образом, решение экстремальных задач для нормы оператора Т, имеет смысл заменить на исследование этих задач для функции . Во множестве интегральных операторов введем отношение частичного порядка.
Определение. Будем считать, что , если имеет место одно из следующих условий:
Интегральные операторы T и T* равны относительно введенного отношения порядка, т.е. и . Этот факт согласуется с соотношением .
Заключение
Результаты выпускной квалификационной работы представляют собой развитие теории операторов, функционального анализа. В работе рассматриваются различные виды интегральных уравнений, приведены наиболее значимые результаты, касающиеся оценок спектральных радиусов интегральных операторов.
Сформулированы и доказаны замечания и следствия к теоремам об оценках спектральных радиусов линейных положительных операторов, коммутирующих с линейным положительным оператором в пространстве с воспроизводящим нормальным конусом.
Приведены примеры, иллюстрирующие приведенные в работе оценки спектральных радиусов интегральных операторов.
Рассмотрены оценки нормы интегрального оператора в пространствах Лебега и Лоренца, сформулировано замечание к теореме для трехпараметрического пространства Лоренца. На основе этих результатов во множестве интегральных операторов вводится отношение частичного порядка, относительно которого можно решать экстремальные задачи для нормы оператора общего вида, не вычисляя саму норму.
Литература
1. Fenyö S. , Stolle H.W. Theorie und Praxis der linearen Integralgleihungen. I – Berlin: Dtsch. Verl., 1982. – 328 s.
2. Fenyö S. , Stolle H.W. Theorie und Praxis der linearen Integralgleihungen. I. – Berlin: Dtsch. Verl., 1983. – 376 s.
3. Банах С. Теория линейных операций.- М.: Наука, 2001.- 272 с.
4. Бахтин И.А., Красносельский М.А., Стеценко В.Я. О непрерывности линейных положительных операторов// Сиб. мат. журн. – 1962. – Т.3. №1. – С.157–160.
5. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства.- М: Комкнига, 2007. – 280 с.
6. Беллман Р. Процессы регулирования с адаптацией. Физматгиз, М., 1964
7. Боголюбов Н.Н., Крейн С.Г. О позитивных вполне непрерывных операторах// Труды института математики АН СССР. – 1948 – Т.9, №1 – С.3–95.
8. Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. – М.: Физматгиз, 1961. – 399 с.
9. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М.: Наука, 1967.– 415 с.
10. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М: Физматлит, 2004. – 576с.
11. Гробова Т.А. // Оценки спектрального радиуса интегрального оператораСтаврополь: Изд. СГУ, Вестник СГУ, выпуск 28, 2001. – с. 12-16.
12. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. – М.: Издательство иностранная литература, 2004. – 895c.
13. Есаян А.Р., Стеценко В.Я. Оценки спектра интегральных операторов и бесконечных матриц// Доклады АН СССР. – 1964. – т.157, №2.
14. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. – М.: BHV-Санкт-Петербург, Невский Диалект, 2004. – 814 с.
15. Канторович Л.В., Вулих Б.З. Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. - М.: Физматгиз, 1959. - 684с.
16. Колатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. – М.: Мир, 1969. – 447с.
17. Колмогоров А.Н., Фомин С.И. Элементы теории функций и функционального анализа, М.: Физматлит, 2004.- 572 с.
18. Костенко Т.А. Оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора// Понтрягинские чтения –IX. Тезисы докладов. – Воронеж: ВГУ, 1998. – С.107.
19. Костюченко А.Г., Нурсултанов Е.Д. Об интегральных операторах в -пространствах//Фундаментальная и прикладная математика, 1999, том 5, №2, с.475-491.
20. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. – М.: Мир, 1988. – 394с.
21. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. – М: Наука, 1989. – 456с.
22. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев В.И. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов. – М: Наука, 1985. – 256 с.
23. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. – М: Наука, 1965. – 520 с.
24. Наймарк М.А. Спектральная теория дифференциальных операторов. – М.: Наука, 1969. – 311 с.
25. Рисс Ф., Надь Б.С. Лекции по функциональному анализу. – М.: Мир, 1979. – 500 с.
26. Семилетов В. А. К теории операторных уравнений с линейными и нелинейными неразложимыми операторами: Дис... к-та физ.-мат. наук. Ростов – на - Дону, 2004, 119 с.
27. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Том V. – М.: Наука, 1974. – 354 с.
28. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. – М.: Мир, 1974.
29. Стеценко В.Я., Галкина В.А. Элементы теории полуупорядоченных пространств. Приближенное решение операторных уравнений. – Ставрополь: Изд-во СГУ, 1998. – 168 c.
30. Функциональный анализ. Под ред. Крейна С.Г. – М.: Наука, 1972. – 544 с.
Страницы: 1, 2, 3
