Курсовой проект по Физике.
“Расщепление энергетических уровней атома водорода в электрическом поле.”
Теория возмущений
Постановка вопроса
Лишь в очень немногих случаях задачу о нахождении квантовых уровней системы (т.е. о нахождении собственных значений и собственных функций оператора энергии Н) удается разрешить с помощью изученных в математике функций. В большинстве проблем атомной механики таких простых решений не существует. Поэтому очень важен весьма обширный класс случаев, когда рассматриваемая задача может быть приближенно сведена к задаче, относящейся к более простой системе, для которой собственные значения Е° и собственные функции j° известны. Такая возможность представляется тогда, когда оператор энергии Н рассматриваемой системы мало отличается от оператора Н° более простой системы.
Точное значение слов "операторы мало отличаются" выяснится из дальнейшего. Сейчас мы укажем те случаи, которые относятся к кругу задач, могущих быть решенными приближенно. Допустим, что нам известны волновые функции и квантовые уровни электронов, движущихся в атоме. Нас интересует, как изменятся квантовые уровни и волновые функции, если атом поместить во внешнее электрическое или магнитное поле.
Достигаемые на опыте поля обычно малы в сравнении с внутриатомным кулоновским полем[1]. Действие внешнего поля можно рассматривать как малую поправку или, как мы будет говорить, возмущение (этот термин заимствован из небесной механики и применялся первоначально для обозначения влияния одной планеты на орбиту другой). Таким же путем могут быть учтены слабые взаимодействия электронов внутри атомов, например, магнитные, а в иных случаях даже и кулоновские. Общие методы решения подобных задач и составляют предмет теории возмущений.
Мы ограничимся пока рассмотрением таких случаев, когда оператор энергии Н обладает дискретным спектром. Пусть данный нам гамильтониан Н равен
Н = Н° + W . (66.1)
Добавок W будем рассматривать как малый и будем называть энергией возмущения (или иногда кратко ¾ возмущением). Далее, мы предполагаем, что собственные значения Е° оператора Н° и его собственные функции j° известны, так что
Н° j° = Е° j°. (66.2)
Наша задача заключается в нахождении собственных значений Е оператора Н и его собственных функций. Эта задача, как мы знаем, сводится к решению уравнения Шредингера
Нj = Еj. (66.3)
Уравнение (66.3) отличается от уравнения (66.2).одним членом Wj, который мы считаем малым.
Для приближенного решения задачи методом теории возмущений пишут прежде всего уравнения (66.3) в таком представлении, в котором за основную переменную берут собственные значения Е° оператора Н , т.е. уравнение (66.2) берут в "Е° "-представлении. Если первоначально оператор Н (66.1) и вместе с тем уравнение (66.3) даны, как это чаще всего и будет, в координатном представлении, но нужно от этого представления перейти к "Е° "-представлению. Напомним этот переход. Будем всюду явно писать только одну координату х (в случае надобности под х можно разуметь любое число переменных так же, как и под значком n у волновой функции j можно разуметь ряд квантовых чисел). Пусть в координатном представлении ("х-представление) собственные функции оператора Н° будут j° (х). Разложим искомую функцию j (х) по функциям j° (х):
j (х) = Sс j° (х). (66.4)
Тогда совокупность всех с есть не что иное, как функция j в "Е° "-представлении.
Подставляя (66.4) в уравнение (66.3), умножая его на j° * (х) и интегрируя по х, получим
S Н с = Ес , (66.5) где Н есть матричный элемент оператора Н в "Е° "-представлении:
Н = Ij° * Hj° dx. (66.6) Матрица, образованная из элементов Н , есть оператор Н в "Е° "-представлении. Имея в виду (66.1) и (66.2), получаем
H = Ij° * (H° + W) j° dx=
= Ij° * H° j° dx + Ij° * W j° dx = E° d + W (66.6') где W есть матричный элемент энергии возмущения в "Е° "-представлении:
(66.7)
Матрица, образованная из элементов W , есть оператор W в этом же представлении. Подставляя (66.6') в (66.5), получим
(66.8) Перенося все члены налево, находим
(66.9) где n и m пробегают все значения, которыми нумеруются функции невозмущенной системы j .
Пока мы никак не использовали предположение о малости W, и уравнение (66.9) справедливо точно. Задача теории возмущения заключается в том, чтобы использовать предположение о малости величин W . Чтобы явно выразить степень малости W, положим
(66.10) где l¾ малый параметр. При l=0 оператор Н переходит в Н . Тогда уравнение (66.9) запишеится в виде
(66.11) Это уравнение мы будет решать по степеням l, считая l малой величиной. При l=0 из (66.11) получается просто уравнение (66.2) в "Е° "-представлении:
(66.12) имеющее решение
(66.13)
При малых значениях l естественно ожидать, что решения уравнений (66.11) будут близки к решениям уравнений (66.12), т.е. к (66.13). Это предположение мы может выразить явно, если представим собственные функции с уравнения (66.11) и его собственные значения Е в виде рядов по степеням малого параметра l:
(66.14) и
(66.15) При l=0 (66.14) и (66.15) переходит в (66.13), причем Е должно равняться Е . Оказывается, что решение уравнений (66.11) существенно зависит от того, вырождены ли состояния системы Н или нет. Если они вырождены, то каждому собственному значению Е принадлежит несколько собственных функций j , если не вырождены, ¾ то только одна функция. Эти два случая мы рассмотрим порознь.
Пусть каждому собственному значению Е невозмущенного уравнения (66.2) принадлежит лишь одна собственная функция j , соответственно ¾ одна амплитуда с . Подставим в уравнение (66.11) ряда (66.14) и (66.15) и соберем члены с одинаковыми степенями параметра l
(67.1) Это представление уравнения (66.11) позволяет легко решить его методом последовательных приближений. Мы получим нулевое приближения, если положим l=0; тогда получаем
m = 1,2,3,…, k, … (67.2) Это ¾ уравнение для невозмущенной системы Н . Пусть нас интересует, как меняется уровень Е и собственная функция j под действием возмущения W. Тогда из решений (67.2) мы берем k-е:
(67.3) т.е. все с =0, кроме с =1.
Решение (67.3) мы будем называть решением в нулевом приближении. Это решение мы подставляем в уравнение (67.1) с тем, чтобы найти следующее, первое приближение. Подстановка дает
(67.4) где через 0(l ) обозначены члены порядка l и выше. Ограничиваясь первым приближением, мы должны считать эти члены малыми и отбросить их. Тогда получаем
(67.4') Если мы возьмем из этих уравнений уравнение номера m = k, то получим
(67.4'') Отсюда находим поправку к Е первого приближения:
(67.5) Из уравнений c m = k находим поправки к амплитудам c , именно, если m = k, то (67.4') дает
(67.4''') Отсюда
(67.6) Найдем теперь второе приближение; для этого следует учесть члены с l . Подставим первое приближение (67.5) и (67.6) в (67.1), тогда
(67.7) где через 0(l ) обозначены члены порядка l и выше. Пренебрегая этими членами, получим уравнения для определения Е и c (второе приближение). При этом уравнение номера m = k получается в виде
(67.7') Отсюда находим поправку к энергии во втором приближении:
(67.8) Из уравнений с m = k найдем c :
(67.9)
Эту процедуру можно продолжать и дальше, переходя ко все более и более высоким приближениям. Мы ограничимся вторым приближением и выпишем результат. Согласно (66.14), (66.15) и (67.3), (67.5), (67.6), (67.8) и (67.9) имеем
(67.10)
(67.11)
Из этих формул видно, что предположение о малости оператора W в сравнении с Н означает малость отношения
(67.12) при выполнении этого условия поправочные члены в (67.10) и (67.11) малы, и собственные значения Е оператора H и его собственные функции с (k) близки к собственным значениям и собственным функциям оператора Н . Условия (67.12) ¾ это условие применимости теории возмущений. На основании (66.10) это условие может быть записано также в виде
(67.13) где W суть матричные элементы оператора возмущения.
Пользуясь (66.4) и (67.6), а также (67.5), мы можем написать наше решение в "х"-представлении:
(67.14)
(67.15) Из последней формулы видно, что поправка к уровням в первом приближении равна среднему значению энергии возмущения в невозмущенном состоянии (j ).
Из условия пригодности метода теории возмущения (67.13) непосредственно видно, что успех приближенного расчета зависит от того, какой именно квантовый уровень мы рассчитываем. Так, например, в кулоновском поле разности энергий соседних уровней выражаются формулой
При малых n эта величина может быть гораздо больше W . Для больших же n она стремится к нулю, как 1/n , и условие (67.13) может оказаться несоблюденным. Поэтому метод теории возмущений может быть пригодным для расчета поправок нижних квантовых уровней и непригодным для расчета поправок для высоких квантовых уровней. Это обстоятельство нельзя не иметь в виду при приложении теории возмущений к конкретным проблемам.
Второе, что следует отметить, ¾ это некоторые особые случаи, когда условие (67.13) соблюдено и тем не менее квантовые состояния систем H и H радикально отличаются. Дело в том, что энергия возмущения W может оказаться такого вида, что существенно изменит асимптотическое поведение потенциальной энергии U(x). Допустим, что к гармоническому осциллятору приложено возмущение W = lx . Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид
(67.16)
При l=0 мы имеем уравнение для гармонического осциллятора, имеющего дискретный спектр энергии E = (n + ). Матричные элементы возмущения
W = l (x ) при малом l могут быть как угодно малы в сравнении с E ¾ E = (m ¾ n). Тем не менее при всяком l уравнение (67.16) имеет непрерывный спектр, и только при l=0 оно имеет дискретный спектр собственных значений. Действительно, потенциальная энергия U(x) = + lx имеет вид, приведенный на рис. 50. При всяком значении Е для больших отрицательных x, U(x) < E, т.е. асимптотическое значение потенциальной энергии меньше Е. Поэтому энергетический спектр должен быть непрерывным.
Спрашивается, какой смысл имеют в этом случае приближенные функции j (x) и уровни Е , которые мы может вычислить из j и Е методом теории возмущения, пользуясь малостью параметра l? Оказывается, что при малых l найденные методом теории возмущения функции j (х) отличаются тем, что они велики вблизи потенциальной ямы U (x) и малы вне ее. На рис. 51 повторена кривая потенциальной энергии U (x) (см. рис. 1) и, кроме того, нанесен квадрат модуля волновой функции j (x) . Рис. 51, а соответствует случаю, когда E = E E . Если же энергия E не равна E , то волновая функция j (x) нарастает вдали от потенциальной ямы U (x) (см. рис.51, б). В первом случае мы можем сказать, что частицы находятся около положения равновесия x = 0, так сказать, "в атоме", а во втором случае они находятся преимущественно вне его, бесконечно далеко. Стационарность состояний может получиться лишь в том случае, если существуют волны, как уходящие в бесконечность, так и приходящие из нее, так что поток частиц через поверхность, окружающую атом, равен нулю. Такой случай представляется малоинтересным. Чаще приходится иметь дело со случаем, когда имеются лишь уходящие волны. Тогда стационарных состояние не существует вовсе. Если требовать, чтобы имелись лишь уходящие волны, то находимые методом теории возмущения функции j (x) описывают поведение частиц лишь в течение не очень большого времени t. Однако на самом деле это время может быть очень велико, и оно тем больше, чем меньше значение параметра l. Такого рода состояния j (x) и соответствующие им уровни Е мы будет называть квазистационарными.
В большинстве важных в приложениях задач приходится встречаться со случаем вырождения, когда в невозмущенной системе (H ) собственному значению E = E принадлежит не одно состояние j , а несколько j , j …, j …., j . Если теперь действует некоторое возмущение W, то без специального исследования нельзя сказать, какая из функций j будет являться нулевым приближением к собственным функциям оператора H = Y + W. В самом деле, вместо ряда функций j …, j …., j , принадлежащих собственному значению E , могут быть взяты функции j , j …, j …., j , получающиеся из первых линейным ортогональным преобразованием:
(68.1)
(68.2) Функции j , будучи линейными комбинациями функций j , будут также решением уравнения Шредингера
(68.3) принадлежащим собственному значению E , и при добавочном условии (68.2) будут ортогональными, если функции j ортогональны. Функции j суть поэтому также возможные функции нулевого приближения, но неизвестно, какие коэффициенты a следует взять, чтобы получить правильное нулевое приближение.
Для решения этого вопроса обратимся к уравнению (66.9). Нам, однако, следует теперь его несколько модифицировать, уточнив обозначения. При наличии вырождения собственные функции оператора имеют по крайней мере два индекса (n, a). Поэтому в этом случае (66.4) следует написать подробнее, заменяя индекс n на два: n, a. Тогда мы получим
Страницы: 1, 2
