4.3 Бесщелевая сверхпроводимость.
В первые годы после создания теории БКШ наличие энергетической щели в электронном спектре считалось характерным признаком сверхпроводимости без энергетической щели – бесщелевая сверхпроводимость.
Как было впервые показано А.А. Абрикосовым и Л.П. Горьковым при введении магнитных примесей критическая температура эффектно уменьшается. Атомы магнитной примеси обладают спином, а значит спиновым магнитным моментом. При этом спины пары оказываются как бы в параллельном и антипараллельном магнитном поле примеси. С увеличением концентрации атомов, магнитной примеси в сверхпроводнике все большее число пар будет разрушаться, и в соответствии с этим ширина энергетической щели будет уменьшаться. При некоторой концентрации n, равной 0,91nкр (nкр - значение концентрации, при которой полностью исчезает сверхпроводящее состояние), энергетическая щель становиться равной нулю.
Можно предположить, что появление бесщелевой сверхпроводимости связано с тем, что при взаимодействии с атомами примеси часть пар оказывается временно разорванными. Такому временному распаду пары соответствует появление локальных энергетических уровней в пределах самой энергетической щели. С ростом концентрации примесей щель все больше заполняется этими локальными уровнями до тех пор, пока не исчезнет совсем. Существование электронов образовавшихся при разрыве пары, приводит к исчезновению энергетической щели, а оставшиеся куперовские пары обеспечивают равенство нулю электронного сопротивления.
Мы приходим к выводу, что существование щели само по себе вовсе не является обязательным условием проявление сверхпроводящего состояния. Тем более что бесщелевая сверхпроводимость, как оказалось явление не столь уж и редкое. Главное - это наличие связанного электронного состояния – куперовской пары. Именно это состояние может проявлять сверхпроводящие свойства и в отсутствии энергетической щели. «Парные корреляции – писал один из создателей теории БКШ Шриффер, - на которых основана теория спаривания электронов, наиболее существенных для объяснения основных явлений наблюдаемых в сверхпроводящем состоянии.»
5. Термодинамика перехода в сверхпроводящее состояние.
Пусть длинный цилиндр из сверхпроводящего проводника I рода помещен в однородное продольное поле Н0. Найдем значение этого поля Нс, при котором произойдет разрушение сверхпроводимости.
При Н0 < Нс существует эффект Мейснера, то есть В = 0, и магнитный момент единицы объема цилиндра М.
М = -Н0 /4p
При изменении внешнего магнитного поля Н0 на dН0 источник магнитного поля совершит работу названой единицей объема сверхпроводника, равную
МdН0 = НdН/4p
Следовательно, при изменеии поля от 0 до Н0 источник поля совершает работу
Эта работа запасена в энергии сверхпроводника, находящегося в магнитном поле Н0 таким образом, если плотность свободной энергии сверхпроводника в отсутствии магнитного поля равна Fs0, то плотность свободной энергии сверхпроводников в магнитном поле
FsH = Fs0 + Н02/8p (5.1)
Переход в нормальное состояние произойдет, если свободная энергия FsH превысит уровень плотности свободной энергии нормального металла: FsH = FH при Н0 = Нc. Это означает, что
Fn – Fs0 = Н c2/8p (5.2)
Из этой формулы следует, что критическое поле массивного материала является мерой того, на сколько сверхпроводящее состояние является мерой того, на сколько сверхпроводящее состояние является энергетически более выгодным, чем нормальное, то есть в какой мере свободная энергия сверхпроводящего состояния меньше свободной энергии нормального состояния. Поле Нc часто называют термодинамическим магнитным полем и обозначают Нcm.
Обратимся теперь к вопросу об энтропии сверхпроводника. Согласно первому началу термодинамики,
δQ = δA + dU (5.3)
где δQ - проращивание тепловой энергии рассматриваемого тела, δA - работа, совершаемая единицей объема этого тела над внешними телами, dU – приращение его внутренней энергии. По определению свободная энергия
F = U – TS, (5.4)
где Т – температура тела, а S – энергия энтропия. Тогда
dF = dU – TdS – SdT.(5.5)
Поскольку при обратном процессе δQ = TdS , имеем
dU = TdS – δA,(5.6) dF = - δA – SdT. (5.7)
Отсюда следует, что
(5.8)
При помощи этой формулы вычислим разность удельных энтропий сверхпроводящего и нормального состояний. Для этого выражение для свободной энергии (5.1) подставим в формулу (5.8)
(5.9)
Эта формула позволяет получить ряд важных физических следствий.
1)Согласно теореме Нернста энтропия всех тел при Т = 0 рана нулю. Поэтому . Это значит, что кривая зависимости Нcm (Т) при Т = 0 имеет нулевую производную.
2)Из эксперимента видно, что зависимость Нcm(Т) – это монотонно спадающая с увеличением Т кривая, то есть что во всем интервале температур от 0 до Тc величина. Следовательно, в этом интервале температур Ss < Sn.
3)Поскольку при Т = Тc после Нcm = 0, то Ss = Sn при Т= Тc. Схематически зависимость Ss – Sn от температуры показана на рис.19.
Проведенный анализ позволяет сделать ряд существенных выводов.
1) Сверхпроводящее состояние является более упорядочным, чем нормальное, так как его энтропия меньше.
2) Переход при Т = Тc происходит без поглощения или выделения скрытой теплоты, так как Ss = Sn при Т = Тc. Следовательно, переход при Т = Тc - это переход второго рода.
3) При Т < Тc переход из сверхпроводящего состояния в нормальное может происходить под действием магнитного поля. Поскольку Ss < Sn, то такой переход сопровождается поглощением скрытой теплоты. Наоборот, при переходе из нормального состояния в сверхпроводящее скрытая теплота выделяется. Следовательно, все переходы в магнитном поле при Т < Тc являются переходами первого рода.
Рассмотрим далее вопрос о поведении теплоемкости. Удельная теплоемкость вещества, а разность удельных теплоемкостей сверхпроводящего и нормального состояний с учетом формулы (5.9) есть
Но при Т = Тc критическое поле Нcm = 0, поэтому
Эта формула, известная как формула Рутгерса, показывает, что при Т = Тc теплоемкость испытывает скачек (рис.20), как это и должно быть при фазовых переходах второго рода. При Т > Тc теплоемкость линейно зависит от температуры, как это бывает у нормальных металлов (электронная теплоемкость).
Перенос тепла в металле осуществляется как свободными электронами, так и колебаниями решетки. И электропроводность, и теплопроводность обусловлены процессами рассеяния электронов. Поэтому наличие сверхпроводимости означает отсутствие обмена энергией электронов проводимости с решеткой. В сверхпроводнике по мере понижения температуры все большее число свободных электронов связывается в куперовские пары и тем самым выключается из процессов обмена энергии, а значит, вклад электронов в теплопроводность постоянно уменьшается. При достаточно низких температурах в сверхпроводнике практически не остается свободных электронов, и он ведет себя как изолятор: электронная система просто полностью выключается из теплового баланса.
Значительная разность теплопроводности металла в нормальном состоянии и сверхпроводящем используется для создания сверхпроводящего теплового ключа – устройства, позволяющего разрывать тепловой контакт между источником холода и охлаждаемым телом в экспериментах в области низких температур. Конструктивно сверхпроводящий ключ выполняется в виде отрезка тонкой проволоки (диаметром 0,1 – 0,3 мм) из тантала или свинца длинной от нескольких единиц до нескольких десятков сантиметров, соединяющего исследуемое тело с хладопроводом. На такую проволоку наматывается медная катушка, по которой пропускается ток, достаточный для создания магнитного поля, большего критического значения. При пропускании тока сверхпроводимость разрушается магнитным полем, и ключ открывается.
Аналогичные «магнитные» ключи применяются для создания поля в короткозамкнутых сверхпроводящих соленоидах. В таких соленоидах также имеется участок сверхпроводника с намотанной на нем медной обмоткой. При пропускании тока через управляющую обмотку соленоид становится разомкнутым, и через него проходит ток от внешнего источника. Затем ключ замыкается, а магнитный поток оказывается замороженным в соленоиде. Сверхпроводящий ключ может разрываться и при нагревании (рис.21)
В таком случае у короткозамкнутого соленоида имеется небольшой участок – перемычка, подогреваемая внешним источником. Перемычка переходит из сверхпроводящего в нормальное состояние при её нагревании до температуры выше Тc.
Так как сверхпроводящее состояние является бездиссипативным, в таком соленоиде магнитное поле чрезвычайно стабильно и существует до тех пор, пока его температура не превысит Тc. Современная техника позволяет изготовлять криостаты со столь малым теплопритоком, что гелиевые температуры поддерживаются после заливки жидкого гелия в криостат со сверхпроводящим соленоидом примерно в течении года!
6. Теория Гинзбурга – Ландау.
6.1 Примеры фазовых переходов.
В основе теории Гинзбурга – Ландау лежит теория фазовых переходов Ландау, разработанная им для общей ситуации, когда система претерпевает фазовый переход, при котором состояние системы перехода меняется непрерывно, а симметрия скачком. При этом высокотемпературная, или, как говорят, «парамагнитная» фаза, является более симметричной, а низкотемпературная фаза – менее симметричной, поскольку она проявляет дополнительный порядок, нарушающий симметрию парафазы. При фазовом переходе происходит понижение энергии упорядочной фазы по сравнению с энергией неупорядочной фазы. Примеры фазового перехода весьма разнообразны. К ним относится переход из парамагнитного состояния в ферромагнитное или антиферромагнитное состояние. Для примера на рис. 22 показана конфигурация различных моментов отдельных атомов в упорядочной фазе (рис.22,а) и в разупорядочной (рис.22,б). Если при Т > Тc средний магнитный момент всего кристалла равен нулю, то при Т < Тc возникает предпочтительное направление, выделенное внешним магнитным полем; проекция среднего момента на это направление уже отлична от нуля. Соответственно, если при Т > Тc имелась симметрия по отношению к вращению, то при Т < Тc такая симметрия отсутствует. В общем случае параметром порядка является физическая величина, отличная от нуля в упорядочной фазе и равная нулю в разупорядочной (парамагнитной) фазе. При отходе от точки фазового перехода Тc в глубину упорядочной фазы параметр порядка возрастает. В случае ферромагнетика параметром порядка служит вектор магнитного момента М ¹ 0 при Т < Тc и М = 0 при Т > Тc. Ферромагнетизм широко распространен в природе. Так, примерами металлических высокотемпературных ферромагнетиков (Тc > 300К) являются Fe, Ni, Co. Имеются примеры диэлектрических и полупроводниковых ферромагнетиков. Более сложно организована структура антиферромагнетика. При этом парамагнитная фаза не отличается от паказаной на рис.22,б, а в упорядочной фазе конфигурация магнитных атомов имеет «шахматный» порядок (см.рис.23), когда направление спинов чередуются.
Примерами таких, как говорят, «зеркальных» антиферромагнетиков, являются фториды переходных металлов. Параметром порядка здесь является вектор энтиферромагнетизма L = M1 – M2, то есть разность магнитных моментов двух соединений атомов. В ряде случаев магнитные моменты соседних атомов скошены по направлению друг к другу (см.рис.24), при этом помимо L ¹ 0 возникает и ферромагнитная компонента М = М1 + М2 ¹ 0 (в отличие от зеркальных антиферромагнетиков, где М = 0). Говорят, что в таком случае имеет место слабый ферромагнетизм.
Другим примером фазового перехода второго рода, при котором симметрия меняется скачком, а состояние системы непрерывно, является структурный переход, с которым часто связано возникновение сегнетоэлектрических свойств в кристалле.
6.2 Теория Гинзбурга – Ландау. Свободная энергия сверхпроводника.
Исходным моментом в построении теории среднего поля для сверхпроводников является догадка Гинзбурга и Ландау о том, что явление сверхпроводимости может быть описано в терминах волновой функции сверхпроводящих электронов Ф(r), вступающей в роли параметра порядка. Поскольку в общем случае волновая функция Ф(r) является комплексной, это предположение эквивалентно утверждению о том, что параметр порядка сверхпроводимости является двухкомпонентным.
Так как сверхпроводимость обусловлена образованием конденсата куперовских пар, волновая функция сверхпроводящих электронов может быть выражена через одноэлектронные волновые функции Ф↑ и Ф↓ электронов с противоположно направленными спинами Ф(r) = < Ф↑ Ф↓ >, причем как можно показать модуль этой величины, определяет щель в энергетическом спектре сверхпроводника.
При наличии пространственной неоднородности свободной энергии должно быть добавлено градиентно-слагаемое, пропорциональное êÑФ ê2. Поскольку Ф является волновой функцией электронной пары, выражение êÑФ ê2 ассоциируется с плотностью кинетической энергии сверхпроводящих электронов. По этой причине в плотность свободной энергии сверхпроводящее слагаемое, отвечающее пространственным неоднородностям, войдет в виде
Здесь мы учли, что масса куперовской пары равна 2m, где m – масса электронов. При наличии магнитного поля оператор импульса p = -iħÑ должен быть заменен на оператор обобщенного импульса.
Подчеркнем, что нетривиальным обобщением теории Гинзбурга – Ландау является замена градиентного слагаемого с×(Ñj)2 на слагаемое, содержащее оператор обобщенного импульса куперовской пары. Включение вектор- потенциала электромагнитного поля А в выражение для свободной энергии позволит связать параметр порядка с плотностью сверхпроводящего тока js.
7. Электродинамика сверхпроводников.
Всякая последовательно развивающаяся наука
только потому и растет, что она нужна челове-
ческому обществу.
С.И.Вавилов
7.1 Уравнение Лондонов.
Характерным пространственным масштабом в сверхпроводниках является длина когерентности x- расстояние, на котором движение двух электронов р;
-р¯ носит ещё скоррелированный характер. Здесь мы, предполагая, что все величины медленно меняются на расстоянии x, опираясь на феноменологическую теорию двухжидкостной гидродинамики и используя простые соотношения электродинамики.
Итак, полагая, что все величины плавно меняются в пространстве, плотность свободной энергии в сверхпроводнике при данной температуре запишем в виде
Здесь первое слагаемое представляет собой кинетическую энергию упорядочного движения сверхпроводящих электронов, us - дрейфовую скорость и ns - концентрацию сверхпроводящих электронов, второе слагаемое – плотность энергии магнитного поля, возникающего при наличии сверхпроводящего тока в соответствии с уравнением Максвелла
Плотность сверхпроводящего потока js, в свою очередь, связана с дрейфовой скоростью us простым соотношением
Множитель ns = ns (T) отражает тот факт, что при Т ≠ 0 не все электроны являются сверхпроводящими – в сверхпроводнике имеются квазичастицы, распространение которых связано с диссипацией энергии.
где мы ввели обозначение
Величину lL, обладающую размерностью длины, называют лондоновской глубиной проникновения.
Свободная энергия всего сверхпроводящего образца получается интегрированием e (r) по пространству .
Используем это соотношение для того, чтобы получить уравнение, которому подчиняется распределение магнитного поля Н (r) в сверхпроводнике. Для этого найдем изменение свободной энергии при вариации поля (Н(r) ® Н(r) + s Н(r))
Если рассматриваемый нами сверхпроводник находится в равновесном состоянии, то свободная энергия должна быть минимальна, соответственно вариации свободной энергии вблизи этого состояния должны быть равны нулю
sЕ = 0 заключается в том, чтобы положить равным нулю выражение в круглых скобках в этом уравнении. Тем самым мы получим связь магнитного поля в сверхпроводнике с его пространственными производными – уравнение Лондонов
(7.1)
которое следует дополнить уравнениями Максвелла, в статическом случае имеющими вид
(7.2 а)
(7.2 б)
Выписанная система уравнений позволяет рассчитать распределение магнитного поля Н и сверхпроводящего тока js в равновесном состоянии сверхпроводника.
7.2 Эффект Мейснера.
Применим уравнения (7.1 – 7.2) к задаче о распределении магнитного поля внутри сверхпроводника. Рассмотрим простейший случай, когда сверхпроводник занимает полупространство (z > 0); плоскость х,y является поверхностью сверхпроводника. Рассмотрим вначале случай, когда магнитное поле Н направлено нормально к поверхности Н = (О, О, Н).
Магнитное поле внутри сверхпроводника, если оно достаточно мало, не может обладать отличной от нуля компонентной, перпендикулярной поверхности. Оговорка, касающаяся относительной малости поля, обусловлена тем, что уравнения Лондонов справедливы при плавном изменении Н(r). При достаточно больших значениях поля это условие нарушается (сверхпроводимость разрушается частично или полностью).
Если эффективная масса электронов в сверхпроводнике велика, а электронная плотность, напротив, мала, то соответственно увеличивается глубина проникновения. Отметим также, что поскольку число сверхпроводящих электронов зависит от температуры, обращаясь в нуль при Т= Тc, то сила проникновения увеличивается при увеличении температуры.
Все величины в сверхпроводнике – магнитное поле Н(r), плотность сверхпроводящего тока, скорость направленного движения сверхпроводящих электронов – имеют характерный масштаб изменения порядка lL. Этот вывод справедлив и для сверхпроводников конечного объема.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5
