Электростатика.
Способность к электризации. - способность тел притягивать к себе предметы.
Эти тела оказ. заряженными.
Q=ne Q - заряд тела n=1,2,...
Заряды приобретаемые при электризации всегда кратны е и заряды явл. дискретными.
Сущ. три способа электризации тел.
1) Электризация через трение - трибоэлектризаия.
2) Электризация наведением (явление электростатической индукции).
3)Электризация с помощью электритирования.
Электрическ. заряды сохр. на заряженных телах различное время в зависемости от способа электризации в1) и 2) - короткое время , 3) - годы и десятки лет.
В замкгутой системе электриз тел (нет обмена зарядами с внешними телами) алгебраическая сумма эл. зарядов остается постояной при любых процессах происходящих в этой системе.
SQi=const
i
Точечный заряд это физич. абстракция.
Точечным зарядом принято называть заряж. тело розмера которого малы по сравнению с расст. до точки исследования.
Одноименные заряды отталкиваются, разноименные притягиваются.
Зак. Куллона.
Сила взаимодействия междуточечными неподвиж зарядами
q1 и q2 прямопропорцианальны величине этих зарядов и обратнопропорц. расст. между ними.
F=k´((q1q2)/r2
k=1/4pe0 e0=8,85´10-12 Ф/M
e0 - фундоментальная газовая постоянная назв газовой постоянной.
k=9109 M/Ф
Зак. Куллона (в другом виде)
F=(1/4pe0)´çq1q2ç/r2
вакуум e=1
F=(1/4pe0)´çq1q2ç/er2
для среды e¹1
Если точечн. заряд поместитьв однородн. безгранич.среду куллоновская сила уменьшится в e раз по сравнению с вакуумом. e - диэлектр. проницаемость среды.
У любой среды кроме вакуума e>1.
Зак. Куллона в векторной форме.
Для этого воспользуемся единичным ортом по направлению вдоль расстояния между двумя зарядами.
_ _ _ _
er=r/r r =er´r
_ _
F=(1/4pe0)´(çq1q2ç´r)/r3 векторная форма
В Си - сист единица заряда 1Кл=1А´с
1Куллон - это заряд, протекаемый за 1 с через все поперечное сечение проводника, по которому течет
то А с силой 1А.
Зак.Куллона может быть применен для тел значительных размеров если их разбить
на точечные заряды.
Кулл. силы - центральные, т.е.
они направлены по линии соед.
центр зарядов.
Зак. Куллона справедлив для очень больших расстояний до десятков километров. При уменьш. расст. до 10-15 м справедлив, при меньших несправедлив.
Электростатич. поле.
Хар. электростатич.поля.
(Е, D, j)
В пространстве вокруг эл. зарядов возникает электростатическое поле (заряды не подвиж.).
Принято считать, что электростатическое поле является объективной реальностью. Обнаружить поле можно с помощью пробных электрических зарядов.
Пробн., полож., точечный заряд должен быть таким, чтобы он не искажал картины иследуемого поля.
Напр. электростатич. поля.
_
Е - напряженность электростатического поля. Напряженность электростатического поля является силовой характеристикой.
_ Напр. поля в данной
Е=F/q0 точке пространства
явл. физ. вел. численно равная силе (куллоновск.)
действ. в данной точке на единичный неподвижный пробный заряд.
[E]=H/Кл [E]=В/м
Силовая линия - линия, в каждой точке которой напр. поля Е направлена по касательной.
Силовые линии строят с опред.
густотой соответствующей модулю напр. поля: через площадку 1 м2 проводят количество линий Е равное модулю Е.
При графическом представлении видно, что в местах с более
густым располож. Е напр. больше.
Вывод формул для напр. поля точечн. заряда.
q - заряд создающий поле.
q0 - пробн. заряд.
Е=(1/4pe0)´(q´q0)/(r2´q0)
E=(1/4pe0)´q/r2
Из E=(1/4pe0)´q/r2 следует что Е зависет прямопропорцианально величине заряда и обратнопропорц. расст. от заряда до т. исследов.
В однородн. безгр. среде с e¹1
(e>1) напр. поля уменьш. в e раз.
E=(1/4pe0)´q/er2
E=(1/4pe0)´q2/r3
Электрическое смещение.
Опред. формулой для D явл. следущее в данной т. среды электрическое смещение численно равно произвед. диэлектр. проницаемости, эл. постоянн. и напр. поля.
D E D=ee0E
[D]=Кл/м2
Напр. эл. поля завсет от e среды поэтому при наличии несколбких граничащих диэлектриков на границе разрыва двух сред напр. поля меняется скачком (линии
вектора Е терпят разрыв).
Вектор D не завис. от e среды т.е. явл. однаков. по величине
во всех средах т.е. скачка D нет , разрыва нет.
Покажем что D независ от e.
D=ee0´(kq)/(e0´r2)
D=(1/4p)´q/(e´r2)
Потенцеал поля.
Силы электростатич. поля консервативные т.е. независ. от траэктории движения заряда.
F=- gradП
Fx= -¶П/¶x аналогич Fy и Fz
1) F= - dП/dr
Для электростатич. сил F=f(r).
Воспользуемся этой зависемостью для введения третей характеристики поля - потенцеала.
Преобр. 1)
2) dП= - Fdr F - куллоновская сила взаимодействия между двумя точечн. зарядами q и q0.
F=k(÷qq0÷/r2) Подставим F в 2) и проинтегрируем лев. и прав. часть.
3) òdП=ò -k(÷qq0÷/r2)dr из 3)
П= -k÷qq0÷òdr/r2=
=k÷qq0÷´(1/r)+C
Разделим лев. и прав. часть 4) на q0.
5) j=П/q0=(1/4pe0 )´(q/r)+C
6) j=П/q0 Потенцеал поля в данной точке численно равен потенцеальной энерии пробного заряда помещенного в данную точку.
[j]=B=Дж/К
7) j=(1/4pe0 )´(q/r) при j=0 r®¥ , j ~ d при r=const ,
j ~1/r при q=const
При q>0 j>0 +
При q<0 j<0 -
Потенцеал поля принято изображать на рис. эквипотенцеальными линиями или поверх.
Эквипотенцеал - геом. место точек равного потенцеала поля.
Принято эквипотенцеал проводить при Dj =const
Dj=j2 - j1 - разность между двумя ближайшеми эквипотенцеалами.
Вывод:
D=e0E DE
E=(1/4pe0 )´(q/r2) D=q/4pr2
Картина линий Е эквипотенц. поля точечн. заряда.
(для ваку-
ума)
Е или D Dj=const
¾ линии D или Е
--- экви.
Нарисуем линии E и D при наличии диэлектрика.
Диэлектрк окружен вакуумом.
В диэл. e>1 Eд<Eв поскольку
eд<eв
Для D линий разрыв. нет т.е. D
чертят сплошной линией.
Принцип суперпозиции
электростатич. полей.
Принцип суперпоз. для Е.
Пусть в пространстве имеется несколько точечн. зарядов q1, q2, ..., qi, ..., qn внесем в это поле пробный заряд q0 найдем силу действия наq0.
Согласнопринципу независемости действия сил результ. сила F действ. но q0 равна геом. сумме всех куллоновских сил действ. на q0 со стор. других зарядов.
_ n _
F= S Fi 1)
i=1
Разделим лев. и прав. часть 1) на q0.
_ n _ _ _
F/q0= S Fi/q0 E=F/q0
F/q0= S E матем запись прин-
i=1 ципа супер. для Е.
Напряженность результ. поля созд несколькими точечн. зарядами = геом. сумме напр. полей созд. в этойже точке отдельными зарядами.
Принцип суперпоз. для D.
D=S Di 3) (аналог 2))
Для потенцеала.
n
j =Sj i
Потенцеал результ. поля в данной точке = алгебр. сумме потонц. полей созд. отдельными зарядами.
Поля диполя.
Эл. диполем - назв. систему двух равных по модулю разноименн. точечн. зар. наход на расст. l друг от лруга значительно < расст. r до исслед. точки. (l <<r)
Диполь характеризуется плечом диполя и электрич. моментом.
Плечо диполя - расст. между зарядами.
Элекрич. момент - произв. вел. заряда на плечо. [p]=Кл´м
Вычислим поле в т. А на оси диполя.
e=1 , q+=q_=q , l , p=ql, E - ?
E=SEi
i _ _
E=E_- E+ EE_
E=k(q/(r+l/2)2)
E=k(q/(r - l/2)2)
E=kq[(1/(r - l/2)2) -1/(r+l/2)2)]
E=[kq(r2+rl+l2/4 - r2+
+rl - l2/4)]/
/r4=(пренебрег. l/2 т.к. r>>l , r>>l/2)=(kq2rl)/r4=k(qp/r3)
E=k(2p/r3) E~1/r3
Поле в т. С на перпендик. оси диполя.
k, q, l, r>>l, p=ql, e=1 , r=OC
E - ?
÷E÷=2Пр.Е+
Е+=Е_ в силу симметрии зар.
Е+=Е_=k(q/(r¢)2)
E+/E_=cosa=l /2r¢
Пр.Е+=Пр.Е_=Е(l /2)
E=2Пр.Е+=2Пр.Е
Пр.Е+=Е+сosa=(kq/(r¢)2)´
´l/2r¢
Пр.Е+/E+=cos aE+
r¢~r при r>>l
E=2(kq/(r¢)2)´l=kql /(r¢)3=
=kp/r3
(неправильно)
E=k(p/r3)
Потоки D и Е.
Пусть электростатическое поле будет однородно т.е. такое
поле у котор. D=const и все линии поля ïï по направлению , введ. в это поле плоск. поверхность площадью S, строем нормаль.
Пр.D=Dncosa
поток D FD=Dcosa´S
1) FD=Dncosa
Потоком D или E назв. физ. вел. числ. = кол - ву. линий
D или Е пронизывающих исследуемую поверхность при
условии D или Е ^ поверхности.
FЕ=ЕnS 2)
[FD]=Кл [FЕ]=В´м
Поток характеристика скалярная, алгебраическая.
При a<900 cosa (+) FD>0
При a<900 cosa (-) FD<0
Запишем общую формулу в случ. когда S имеет произв. форму.
В током случае на поверх S наход. участок площадью dS котор. можно считать плоским, тогда dFD=Dn´dS
FD=òDndS
S
Площадке dS припис. векторные свойства.
dS=dS´n
FD=ò DndS
Теор. Гаусса (интегральная форма).
В ряде случаев принцип суперпоз. для вычисления напр. поля применять трудно, в таких случ. напряженность электростатич. поля вычисляют с помощью теор. Гаусса.
Теор. Гаусса позволяет легко вычислять Е и D при симметричных расположениях заряда.
Поток вектора электрич. _
смещения D cквозь произвольн. замкн. поверх. S равен алгебраич. сумме зарядов заключ. внутри поверх.
Замкнутая поверх - такая вкотор нет отверстий.
Алгебр. сумма - сумма заряда с учетом их знаков.
_ _ n
ѓDdS=Sqi 1)
S i=1
ѓEdS=(1/e0)Sqi 2)(для вакуума)
S i
Док - во.
1. Пусть имеется полож. точечн. заряд. q .
ѓDdS=ѓDdS
S S
Dn a=0 Dn=D
Вынесем за знак интегр.
DѓdS=D4pr2=(q/4pr2)´4pr2=q
3) ѓDdS=q
Очевидно если точечн. зар. расп. не в центре а в люб. т внутри поверх. S колич. линий
D прониз. поверх. не измен. , т.е. для люб. положения точечн. заряда q внутри сферы формула 3) справедлива.
Поток сквозь поверх. другой формы (произвол.) при прежнем заряде q не изменится и 3) справедлива.
Внутри замкн. сферы нах. несколько зарядов q1, q2 ,q3, ...,qi,...qn 1£ i £n
Докажем что в этом случ. теор. Гаусса верна.
На основ. 1)
для кажд
зар. теор.
справедлива.
4) ѓDidS=qi
в 4) просуммируем левую и правую часть.
SѓDidS=Sqi
i i
ѓ(SDi)dS=Sqi
s i i
ѓDdS=Sqi 5)
s i
Форма записи 5) имеет назв. интегральной формы записи.
Интегр. форм. - обознач. что в формуле характеристики слева и справа относятся к разным точкам пространства.
r - об. плотность.
r=dq/dv (Кл/м3)
6)Sqi=òrdv
i v
ѓDdS=òrdv S и V -
v согласо-
ванны.
Практич. применение теор. Гаусса.
Методика применения теоремы.
Дано:
Шар , eш ¹ 0 , eш>0 , eш=e , ecp=1 , r=const , R - радиус шара 1) r>R (вне шара)
2) r<R (внутри)
Найти Е и D вне и внутри шара).
ОА=r
1) Наход. картину линий поля.
2) Выбор замкнутой поверхности удобной для реш. задач.
Во всех точках поверх. или к части точек cosa=1.
3) Это замкнутая поверхность должна проходить через исслед. точку.
4) К построенной поверхности строят нормаль. Очевидно что для всех точек поверх a=0 D=const.
5) Вычисляем формально поток (левую часть формулы Гаусса) _ _ n
ѓDdS=Sqi
ѓDdS=DѓdS=D´S=D´4pr2 (1)
6) Вычисляем алгебраич. сумму зар. попавших внутрь поверх. (прав. часть форм.)
Sqi=rV=r(4/3)´pr3 (2)
7) Приравниваем (1) и (2)
D´4pr2=r(4/3)´pr3
D=((rR3)/3)´1/r2 D~1/r2
q=r(4/3)´pr3 D=q/4pr2
Электрич. смещение D и напр. поля Е в люб. точке. вне шара. определ. по тем же формулам что и для точечн. заряда.
Рассм. точку внутри шара.
1) _ _
ѓDdS=DѓdS=D´S=D´4pr2
2) Sqi=rV=r(4/3)´pr3
D=4pr2=r(4/3)´pr3
D=r/3´r D~r
Постр. граф. завис. D(r).
Dв диэлектр и Dв вакууме - одинаков.
Для напр. поля но основ. получ. формулы для D и на основ. связи D=r/3´r
E=D/ee0
для А E=(q/4pe0r2)=k(q/r2) b)
для С E=(r/3ee0)´r a)
Найдем знач. Е в точках на поверхности. Воспользуемся а) и b) и подходом к поверхности снаружи и изнутри.
6) ER=q/4pe0R2 r=R
Подходим к поверх. изнутри.
7) ER=(r/3ee0)´R
E=(r4pR3)/(3´4pe0R2)
8) E=(r/3e0)´R
Сравнивая 7) и 8) видим что напр. поля не равны.
ER¹ER ER>ER (скачок)
вн сн вн сн
Завис. Е(r)
При eср<eш
Методика применения теор. Гаусса универсальна и применима для реш. любой задачи.
Применение теор. Гаусса к расчету некоторых электростатических полей в вакууме.
1)Поле равномерно заряж. бескон. плоскости:
Бесконечная плоск. заряжена с постоянной поверхностной плотностью +s (s = dQ/dS - заряд приходящийся на единицу поверхности). Линия напряженности перпендикуляр.
плоскости и направленный в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим цилиндр,
основание параллельно плоскости.
Полный поток сквозь цилиндр
равен сумму потоков сквозь его основания, т.е. равен 2ЕS. Заряд заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности равен sS. Согласно теор. Гаусса 2ЕS=sS/e0 ,
откуда Е=sS/2e0. Из формулы видно, что Е не зависит от расстояния.
2) Поле двух бесконечн. параллельных разноименных заряженных пластин.
Слева и справа от плоскостей по суперпозиции напряженности равна нулю. А внутри между пластин Е=s/e0.
3) Поле равномерно заряженной сферической поверхности.
Сфера радиуса R с общим зарядом Q заряжена равномерно с поверхностной плотностью +s. Если r>R, то внутрь поверхности попадает
весь заряд и по теор. Гаусса
4pr2E=Q/e0 , откуда
E=(1/4pe0)´Q/r2 (r ³ R)
Если r¢<R, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому внутри сферы электростатич. поле отсутствует, т.е. Е=0.
4) Поле объемно заряженного шара.
Шар радиуса R с общим зарядом Q заряжен равномерно с объемной плотностью r (r=dQ/dV - заряд приходящийся на единицу объема). Напряженность вне шара будет как и в 4) т.е. Е=(1/4pe0)´Q/r2
Внутри же будет другая.
Сфера радиуса r¢<R охватывает заряд Q¢=(4/3)p(r¢)3q. Поэтому по теор. Гаусса: 4p(r¢)2Е= Q¢/e0=(4/3)p(r¢)3´re0
, получим: E=(1/4pe0)´(Q/R3)r¢ (r¢£ R).
5) Поле равномерно зар. без-
кон. цилиндра.
Безкон. цилиндр радиуса R заряжен равномерно с линейной плотностью t (t=dQ/dl - заряд, приходящийся на единицу длины). Поток сквозь торцы цилиндра равен 0, а сквозь боковую поверхность 2prlЕ , где l -высота. По теореме Гаусса, для r>R
2plЕ=t(l/e0) , от сюда Е=(1/2pe0)(t /r) (r ³ R).
Если r<R , Е=0.
Теор. Гаусса в дифференциальной форме.
В случаях неравномер. распред. заряда и не симметр. конфигурациях заряженных тел теор. Гаусса в интегр. форме применять затруднительно. В этих случаях легко реш. задачи с помощью дифференц. формы теор. Гаусса.
Страницы: 1, 2, 3
