Пусть заряды в пространстве распред. неравномерно r¹const
В общем случае r =f(x,y,z)
Рассм. т. А(x,y,z). В этой т. r(x,y,z). В т. А D(x,y,z) D - смещение в т. А.
Для получ. теор. Гаусса в нов. форме воспольз. теор. Гаусса в интегр. форме. для некотор. элементар. обьемного пространства в окрестностях т. А. В виде куба стор. котор. параллельны осям.
Предполагаем что внутри DV в окрестностях т. А. r =const
_ _
1) ѓDdS=rDV DV®0
S
Нах. предел отношения потока через поверхность куба. на DV при DV®0.
2) lim ( ѓDdS/DV)=r (в т. А)
DV®0 S
_ _ _
lim ( ѓDdS/DV)=div D
DV®0 S (дивергенция)
В математике показ. что
_
div D=(¶Dx/¶x)+(¶Dy/¶y)+
+(¶Dz/¶z)
_ _ _ _ _
D=iDx+jDy+kDz divD - скалярная вел.
Перепишем 2) в окончательном виде.
3) div D=r - теор. Гаусса в дифр. форме.
Дивергенция электрическ. смещ. в данной т. поля равна объемной плотности заряда в этой точке.
Из 3) очевидно если r>0
(+ зар) div D>0 - исток расхождения. Если r<0 ( - зар)
div D<0 вхождение линий.
Из3) важное следствие:
Источником поля явл. электрич. заряд.
Теор. Остроградскрго Гаусса.
Ур. 3) домножим лев. и прав. часть на dV.
4) div DdV=r dV
проинтегрируем 4) по объему
5) òdiv DdV=òr dV
v v
òr dV=òDdS
v s
6) òdiv DdV=ѓDdS - Остр. Г.
согласован «
В теор. Остр. Гаусса содерж. связь между дивергенцией и потоком одного и того же вектора.
Работа сил. электростатич. поля.
Потенциал поля.
Силы электростатич. поля перемещая электрич. зар. соверш. работу.
Вычислим работу сил электростатич. поля для перемещения зар. по произвольной траектории.
q - созд. поле.
+q0 -перемещ. в поле заряда q.
Рассмотрим перемещение заряда на элементар. кчастке dl.
0) dA=Fldl =Fcos adl =Fdr
r - тек. расст. между q иq0.
Найдем полную работу.
2 2
А=òdA=òFdr
1 1
Поскольку Fdr cosa¢=1
Fdr=Fdr
r 2_ _
1) A=òFdr
r 1
Воспользуемся для получ. втор. формулы связью между
_ _ _ _ _ _
Е и F. E=F/q0 E=q0E
2) dA=q0Eldl =q0Edl =
=q0Ecos adl
интегрируем 2) лев. и прав. часть
2 _ _
3) A=q0òEdl
1
Получим еще одну формулу.
Воспольз. 1) в котор. подставим ур. Fкл.
r2
A=òk(q0´q/r2)dr
r1
A=q0((kq/r1) - (kq/r2))
Из 4)
5) A=q0(j1 - j2)
Работа при перемещении зар. q0 электростатич. силами равно произв. вел. этого заряда на разность потенциала в начальной и конечной точке.
Из 4) след. что работа сил поля независ. от формы траектор. Силы электростатич. явл. консервативными , поле электростатическое явл. потенциальным полем.
Используя 5) дадим второе опред. потенциала. Для этого рассм. перемещение полож. заряда q0 из данной т. в котор.
j1 = j в бесконечность j2=j¥=0.
Из 5) А¥=q0j
6) j = А¥/q0
Потенциал. поле в данн. т. числ. =работе соверш. сила электростатич. поле при перемещении единичного полож. заряда из данной т. в бесконечность. Потенц. скаляр. характеристика. Дж/Км=В
Теор. о циркуляции вектора напр.электростатич. поля.
Потенциальный характер поля.
Рассм. перемещ. зар. q0 в поле заряда q вдоль произвольной замкнутой траектор. А = 0.
Возмем для работы форм. 3)
q0ѓEldl=q0ѓEdl =0
L L
q0 ¹ 0
1) ѓEldl=0 - циркуляция Е
L _
Циркул. Е в доль произвольн. формы замкн. контура=0.
Теор. о циркул. свидетельствует о том что электростатич. поле - потенциальное.
Если циркул. не =0 то поле не потенциально.
Физ. смысл. циркул. численно равен работе по перемещ. единичн. полож. зар. по замкн. траектории.
Лекция.
Вычисление разности потенциала по напряж. поля.
2
1)A=q0òEldl
2)A=q0(j1 - j2)
j1 - j2=òEldl Связь между
1 разностью потенциала и напряженностью поля.
Вычислим разность потенциала для бесконеч. , равномер. заряженной нити с линейной плотностью t .
Пример:
t =dq/dl [ Кл/м]
t1, t2 e=1
(j1 - j2) - ?
El=Er dl=dr
r2 r2
j1 - j2=òErdr=òEdr
r1 r1
E=(t/2pe0r) напряженность поля в точке на расст. r от нити. 2
j1 - j2=(t/2pe0)òdr/r
j1 - j2=(t/2pe0)´ln(r2/r1)
Пример 2:
Вычисл. разности потенциала для равномер. заряж. сферы (проводящий шар).
Сфера R , q=1
1) r<R 2) r>R
Для точек вне сферы (r>R) из теор. Гаусса напряженность Е вычисляется Е=1/2pe0=q/r2
Внутри (r<R)
Е=0
j1 - j2=òErdr=òEdr=
=(q/4pe0)òdr/r2=(1/4pe0)(q/r1) -
- (1/4pe0)(q/r2)
из последнего выражения следует что потенц. поля не определ. как и у точечного зар. котор. нах. внутри.
r>R j =(1/4pe0)(q/r)
Внутри напряженность поля =0
поэтому j1 - j2=0
j1=j2=jR=(1/4pe0)(q/R)
j =const
Нарис. графики.
Связь между напряженностью поля и потенциалом в диффер. форме.
Градиент потенциал.
Для получения связи между Е и j в одной точке воспользуемся выраж. для элементарн. работы при перемещении q0 на dl по произвол. траектории.
dA=q0Eldl
В силу потенциального характера сил электростатического поля эта работа соверш. за счет убыли потенциальной энергии.
dA= - q0 dj = - П
Eldl = - dj
3) El= - (dj /dl )
Проэкция вектора напряж. поля на произвольном направлении (l) равна взятой с обратным знаком производной по этому направлению.
4) Ex= - (dj /dx)
Ey= - (dj /dy) Ez= - (dj /dz)
E= - ( i (¶/¶x)+j (¶/¶y)+
+k (¶/¶z))´j
E= -grad Напряженность
поля в данной т. равна взятому с обр. знаком градиенту потенцеала в этой точке.
Градиент сколяр. фукции явл. вектором.
Градиент показывает быстроту изменения потенцеала и направлен в стор. увелич потенцеала.
Напряж. поля всегда перпендикулярна к эквпотенцеальным линиям.
Пусть точечный заряд q0 перемещается в доль эквипотенцеала j =const , dl - на эквипотенцеали.
dA=q0Eldl dA=0 т.к. Dj =0
El=Ecosa q0Ecosa dl =0
q0¹0 E¹0 dl¹0 cosa=0 a=900
Проводники в электрич. поле.
Электроемкость проводников.
Конденсаторы.
Энергия поля.
§1 Условия равновесия заряда на проводнике. Электростатич. защита.
Внесем в электрич. поле напряженностью E0 тело.
При внесении проводника все электроны окажутся в электростатич поля.
В нутри проводника за короткое время призойдет разделение эл. зарядов (электростатич индукция) с накоплением их на концах.
E0 - внешнее E' ¯E0
E' внутри проводника
Е=E0+E'=0 E'=E0
E - результ. поле в нутри проводника.
В результате рассмотренныых процессов.
Усл. равновес. заряда.
1)Напр. поля во всех точках внутри проводника Е=0 .
2)Поверхность проводника
явл. эквипотенцеальной
j =const.
3) Напр. поля Е ^ эквипот.
В силу Е=0 проводники люб. формы явл. защитой от электростатич. поля.
Поле у поверхн. заряж. проводника.
Рассм. произаольную форму проводника заряж. по поверх. с поверхностной плотностью s .
Воспольз. теор. Гаусса в интегральной форме.
ѓDdS=Sqi
s
На заряж. поверхности отсечем круг площадью S.
ѓe0EdS=e0EòdS
s s
e0E´S=s´S
в т. А E=s/e0
D=e0E D=s
Напр. поля прямопропорц. поверх. плотности заряда проводника в окрестностях этой точке.
Разделение зар. по проводнику завис. от его поверх. (у острых углов заряд больше , напряж. сильнее).
Электроемкость проводника.
Единица электроемкости.
Рассм. проводник произв. формы. В близи этого проводника других проводников нет. такой проводник назв. уединенным проводником.
Будем заряжать уединенный проводник. При увеличении заряда потенциал прямо пропорционально зависет от Q.
Связь между зарядом Q , потенциалом j , и формой проводника дает электроемкость С=Q/j .
Емкостью уединенного проводника - назв. физ вел. числ.= величине зар. сообщаемого этому проводнику при увеличении потенциала на 1В.
В Си 1Ф - фарад.
1Ф=1Кл/1В
Электроемкость зависет от размеров , формы и диэлектрической проницаемости среды.
С=4pee0R
j =(1/4pee0)´(Q/R)
Уединенные проводники при приближении к ним других проводников свою емкость существенно меняет (уменьш. за счет взаимного влияния электростотич. полей).
Типы конденсаторов.
Конденсатор - устройство позволяющие получать стабильное значение емкости независящее от окружения.
Создание закрытого поля не влияющего на металлич. предметы достигается за счет двух металлич. разноимен. заряж. электродов.
В зависемости от формы обкладок различают плоские , цилиндрические , сферические конденсаторы.
Расчет емкости конденс. разл. типов.
1)
Дано: s , ½+ s ½=½ - s ½ ,
e , S , d
C - ?
C=q/j уедин. проводника
Для конденс.
1) С= q/Dj =q/U
Dj =U - напряжние
С=sS/Ed=sS/[(s/ee0)´d]=
=ee0S/d 2)
Цилиндрич. конденсатор.
R1 , R2 , l , e
½+q ½=½ - q½
+t , -t
Воспользуемся 1)
R2
С= tl/(òEdr) E= t/2pee0r
R1
Напряженность поля произвольной точки располож. между цилиндрами на расст. r от оси определяется только зарядами на внутреннем цилиндре (см. теор. Гаусса). Аналогично для тонкой нити.
С= tl/(ò(t/2pee0r)dr=
= [tl/(t /2pee0´ln R2/R1)]
3) C=[tl/(t /2pee0´ln R2/R1)]
емкость цилиндрич. конденс.
Сферич. конденсатор.
Сферич. конденс. - две концентрические сферы определ. радиуса.
Дано: e , R1 , R2
Использ. 1) R2
С=q/= q/Dj =q/(òEdr)=
R2 R1
=q/(ò(q/4pee0r2)dr)
C=q/((q/4pee0)´(1/R1 - 1/R2))
C=4pee0R1R2/(R2 - R1)
Для всех видов конденс. видно что емкость зависит от параметров электродов. Всегда с помещением диэлектрика между электродов емкость увелич.
Соединение конденсаторов.
Батареи конденсаторов.
Конденсаторы часто приходится соединять вместе. Часто возник. необходимость соед. их в батареи (когда нужно иметь другую емкость).
1) Последовательное соед. - соед. при котор. отрицательные электроды соед. с полож.
У последовательно соед. Конденсаторов заряды всех обкладок равны по модулю , а разность потенциалов на зажимах батареи
n
Dj =åj i
i=1
Для любого из рассматриваемых конденс. Dj i=Q/Ci
С другой стороны ,
Dj =Q/C=Qå(1/Ci)
Откуда
1/C=å1/Ci
2) Параллельное соед. - соед. при котор. соедин. между собой обкладки одного знака.
С=åCi
У параллел. соед. конденсоторов разность потенциалов на обкладках конденсаторов одинакова и равна j а -j b. Если емкости конденсаторов С1 ,С2, ..., С3 то их заряды равны Q1=C1(j а -j b)
Q2=C2(j а -j b)
а заряд батареи конденсаторов
Q=åQi=(C1+C2+...+Cn)´
´(j а -j b)
Полная емкость батареи
С=Q/(j а -j b)= åCi
Энергия заряженного проводника и конденсатора.
Рассм. уедин. проводник произв. формы. Проведем зарядку этого проводника , при этом подсчитаем работу внеш. сил.
Пусть при перенесении dq из ¥ , проводник приобрел потенциал j . Элементар. работа dA=j dq.
Допустим зарядили до Q .
С=q/j j=q/C
Вся работа совершаемая при зарядке проводника до Q равна.
1) A=Q2/2C 2) A=Cj2/2
3) A=Qj/2
В окружающем пространстве после зарядки проводника возникло электростатическое поле, значит работа при зарядке проводника расходуется на создание поля. Значит работа переходит полностью в энергию электростатич. поля.
Wэл=1) или 2) или 3)
Из 1) , 2) ,3) не следует ответа что энерг. Wn локализована в самом поле поскольку в формуле стоят параметры заряж. проводника.
Конденсатор.
Рассм. зарядку конденсатора состоящего из двух обкладок
Первый путь - dq перенос. из ¥ на одну из обкладок , тогда на второй обкладке возникнет -.
Второй путь - элементарн. заряд dq перенести из одной обкладки на вторую.
Независимо от способа формулы 1) , 2) , 3) справедливы (только j изменяется на Dj).
Энергия электростатического поля.
Объемная плотность энергии.
Носителем энергии явл. само поле.
Для подтверждения этой идеи возьмем формулу 1).
Wэл=Q2/2C применим ее к плоск. конденсатору. (параметры известны).
Wэл=s2S2d/2ee0S=(s2/2ee0)´Sd=
=(ee0s2/2(ee0)2)´V
1) Wэл=(ee0E2/2)´V
Из 1) следует что носителем энергии явл. поле с напряженностью Е.
Из 1) следует что все стоящее перед объемом - это объемная плотность энерг. электростатического поля.
2) wэл=(ee0E2/2)
2') wэл=DE/2
В физике доказывается что 2) и 2') можно применять и для неоднородного поля, для котор. полная энерг. может быть вычесленна по формуле
3) Wэл=òwэлdV
v
Диэлектрики в эл. поле. Поляризация диэлектриков.
§1 Проводники и диэлектрики. сущность явл. поляризации.
У проводников электроны могут свободно перемещаться по всей толще образца.
явл. эле-
ктростатич
индукции
Диэлектрики - вещества плохо или совсем непроводящие эл. ток.
В диэлектрике свободные заряды отсутствуют. У диэлектрика очень большое сопротивление.
Во внешнем поле у диэлектриков происходят очень существенные изменения. Заряды находящиеся в атоме во внешнем поле Е0 смещаются или пытаются сместиться. Диэлектрик во внеш. эл. поле поляризуется.
поляризуется
При поляризации диэлектрика Е¹0.
У диэлектрика во внеш. эл. поле на поверхности образца появл. связнные некомпенсированные поляризованные заряды.
Явл. поляризации заключ. в появлении электрич. поля Е при внесении во внеш. поле Е0 появл. связанных поверхностных зар. и появлении в толще образца , в каждой единице объема дипольного момента.
Диполь во внеш. эл поле.
Рассм. электрический диполь образованный зарядом q.
Электрич. момент p=ql , где l- плечо диполя. Вносим диполь во внеш. поле.
Е=const
½+q½=½-q½=q
Запишем силы действующие на заряд.
На +q - F+ , на -q - F_
½F+½=½F_½=½F½=F
На электрич. момент действ. пара сил , при этом возник вращающий момент М.
М=Fd=Flsina=Eqlsina=
=Epsina
d - плечо силы
M=[P,E] -вращ. момент
(сколяр. произв.)
В однородн. эл поле электрический диполь поворачивается до тех пор пока эл. момент не станет направлен по внеш.
полю PE т.е. эл. диполь в полож. устойчивого равновеия.
В неоднородном эл. поле диполь наряду с поворотом испытывает поступательное движ. в область неоднородного поля.
Типы диэлектриков.
Виды (механизм) поляризации диэлектриков.
В зависимости от структуры молекул различ. два типа диэлектриков поляр. и неполяр.
неполяр. полярные
O2 , H2 , CO ... HCl ,...,CO2
Симметрич. Не симметри-
структура ма- чная структу-
лекул. ра.
Без внеш. поля.
(Е0=0)
Страницы: 1, 2, 3
