с учетом которого равенство (1.4) принимает вид
.
(1.16[DG25] )
2. Построение динамической модели переходных процессов манипулятора МРЛ-901П
2.1 Модель переходных процессов в манипуляторе МРЛ-901П
Модель портального манипулятора МРЛ-901П представлена на рис. 2.1. Деформирующимися элементами в манипуляторе являются: зубчатый ремень, обозначенный пружиной; консольная часть, на которой имеется сосредоточенная масса m. Деформация поперечной консоли обозначена на схеме углом . Исходными данными для расчета такой модели будут: значение подвижной массы m, плечо приложения этой массы l, а также коэффициент натяжения зубчатого ремня, определяемый как отношение прогиба ремня к его длине и влияющий на жесткость, и демпфирование модуля линейного перемещения.
При остановке электроприводов подвижные массы будут продолжать движение под действием инерционных сил, в результате чего точки А и Б займут положение и соответственно, затем остановятся и под действием сил упругой деформации пружины и балки начнут совершать колебательное движения.
Рассматриваемая модель имеет три степени свободы, обозначим независимые обобщенные координаты как , и . Для описания данной модели воспользуемся уравнением Лагранжа второго рода:
(j = 1,2,…,k),
(2.1)
где T - кинетическая энергия системы; Q - обобщенная сила; k - количество степеней свободы.
Кинетическая энергия системы с тремя степенями свободы является однородной квадратичной формой обобщенных скоростей [5]:[DG26]
,
(2.2)
Коэффициенты являются функциями координат , и .
Предположим, что обобщенные координаты отсчитываются от положения равновесия, где .
Располагая коэффициенты по степеням и пологая для упрощения записи , получим:
(2.3)
Потенциальная энергия системы:
(2.4)
При этом учитываем, что в положении равновесия обобщенные силы также обращаются в нуль.
В (2.4) для упрощения приняты следующие обозначения:
, , , , , .
Для составления дифференциальных уравнений свободных колебаний в форме уравнений Лагранжа второго рода, выразим потенциальную энергию через обобщенные координаты. Рассмотрим равновесие системы, на которую действуют силы …,. Потенциальная энергия в состоянии устойчивого равновесия имеет минимум, равный нулю, а при вызванном действием сил отклонении от него выражается квадратичной формой вида (2.4).
Элементарная работа всех сил действующих на систему, по принципу возможных перемещений должна быть равна нулю:
(2.5)
Замечая, что
а также приравнивая к нулю коэффициенты при независимых вариациях , и , получаем три уравнения:
(2.6)
Здесь , и - обобщенные силы для системы сил …,, уравновешивающих потенциальные силы, возникающие при отклонении системы из положения равновесия . Заменяя в (2.6) производные потенциальной энергии их выражениями согласно (2.4), получим систему уравнений, определяющих значение координат , и в положении равновесия:
(2.7)
причем , и .
Решение системы (2.7) имеет вид:
(2.8)
где
(2.9)
На систему действуют обобщенные силы, которыми являются инерционные силы и силы сопротивления движению. Обычно в сложных системах в целях упрощения [4, 5[DG27] ] силу сопротивления принимают пропорциональной первой степени скорости движения. С целью упрощения условимся, что угол мал и координаты массы m можно записать как . Поэтому на основании кинетостатики можем записать:
(2.10)
где - обобщенная сила, - коэффициент сопротивления пропорциональный первой степени скорости движения массы m. Так как масса собственно консоли манипулятора МРЛ-901П меньше массы закрепленных на ней рабочих головок, захватов и деталей, для упрощения примем условие, что точка исследования колебаний (практически - рабочий орган манипулятора) совпадает с точкой приложения сосредоточенной массы m.
Сила действует на все звенья манипулятора следовательно:
(2.11)
Коэффициенты в (2.7) будем определять из того, что согласно (2.11) звенья можно рассматривать независимо друг от друга. Положим сначала, что действует только по координате , затем только по координате и наконец только по координате , тогда в выражение (2.7) можно переписать:
(2.12)
таким образом , используя (2.9) находим:
(2.13)
Коэффициенты , и определяют податливость звеньев манипулятора по координатам , и соответственно. Выражая податливость звеньев через их жесткость, запишем:
(2.14)
где , и жесткости звеньев по координатам , и соответственно.
Подставляя (2.14) , (2.11) и (2.10) в (2.8) получим:
(2.15)
Для решения этой системы нужно выразить скорость и ускорение массы m через их составляющие:
(2.16)
Поскольку в манипуляторе суммарную жесткость удобно экспериментально определять, прикладывая соответствующее усилие к его рабочему органу, и так как в конечном итоге необходимо определить положение массы m, координаты которой выражаются как , то для этого достаточно сложить уравнения в выражении (2.15):
(2.17)
или:
(2.18)
где С - суммарная жесткость звеньев манипулятора.
Анализ показывает, что величина C является переменной и зависит от плеча приложения l сосредоточенной массы m.
Преобразуя (2.18), получаем уравнение описывающие переходный процесс в системе:
(2.19)
Уравнение (2.19) легко решается классическим способом при следующих начальных условиях:
(2.20)
где - скорость рабочего органа манипулятора в момент выхода на конечную точку.
Выражение (2.19) представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Будем искать частное решение уравнения в виде:
(2.21)
где и - произвольные постоянные, которые могут быть определены из начальных условий: при t = 0; и - корни характеристического уравнения:
(2.22)
Решение уравнения (2.22) будет иметь вид:
(2.23)
Определим произвольные постоянные и , решая систему уравнений:
(2.24)
Решение системы (2.24) будет иметь вид:
(2.25)
если учесть (2.20) то:
(2.26)
подставляя (2.26) в (2.21) и с учетом (2.23) имеем:
(2.27)
где - реальная часть; - мнимая часть.
Тогда разделяя реальную и мнимую части в (2.27) получим:
(2.28)
Учитывая что:
(2.29)
имеем:
(2.30)
Преобразуя (2.30) получим решение уравнения (2.19):
(2.31)
Прологарифмируем выражение (2.31) предварительно подставив в него значение допустимой погрешности позиционирования:
(2.32)
где - допустимая погрешность позиционирования.
Преобразуя (2.32) получим выражение для определения времени переходного процесса:
(2.33)
Для расчета жесткости C и коэффициента демпфирования в модели используются экспериментально полученные зависимости. В частности коэффициент демпфирования определяется по осциллограмме затухания колебаний рабочего органа.
Таким образом, время переходного процесса, для данного типа манипулятора при заданной массе положении рабочего органа определяется по выражению (2.33), в котором коэффициенты жесткости и демпфирования предварительно определены экспериментально.
2.2 Анализ переходных процессов в манипуляторе МРЛ-901П
Источниками возникновения переходных процессов в манипуляторе МРЛ-901П являются: зубчатая ременная передача линейного модуля манипулятора и его свободная консоль.
На этапе зондирующих экспериментов исследовались парные зависимости коэффициента демпфирования от натяжения зубчатого ремня и смещения рабочего органа вдоль консоли. Результаты анализа полученных осциллограмм сведены в таблицы 2.1 и 2.2.
Анализ результатов показывает, что натяжение зубчатого ремня существенным образом влияет на коэффициенты демпфирования модуля линейного перемещения: так при увеличении начального натяжения ремня от минимального значения h = 0,03778 до максимального h = 0,00667 (в исследуемых приделах) коэффициент демпфирования уменьшается в 3 раза. Таким образом, можно сделать вывод о том, что демпфирование линейного модуля с зубчатой ременной передачей может задаваться и варьироваться в широких пределах, как на этапе конструирования, так и в процессе его эксплуатации.
Табл. 2.1
Результаты анализа осциллограмм собственных колебаний рабочего органа манипулятора МРЛ-901П на консоли
Величина смещения рабочего органа вдоль консоли ly, мм
Период колебаний рабочего органа T, с.
Частота колебаний w, с-1
Логарифмический декремент затухания n
Коэффициент демпфирования b, кг/c
Время затухания колебаний tп.п., с.
0
0,057
17,54
0,956
369
0,6
175
0,067
15
0,693
227,55
0,9
350
0,08
12,5
0,446
122,65
1,2
Анализ результатов исследований показывает, что смещение рабочего органа манипулятора МРЛ-901П вдоль свободной консоли, также как и
Табл. 2.2
Результаты исследований демпфирующих свойств модуля линейного перемещения с ременной передачей
Номер опыта
Номер параллельного опыта
Случайный порядок проведения
Степень начального натяжения
Период колебаний Т, с.
Среднее время затухания
опытов
ремня h
парал-лельные опыты
среднее
колебаний tп.п., с
1
3
0,1
1,15
460,15
2
0,102
1,23
482,35
12
0,03778
0,113
0,105
1,383
1,253
489,72
477,33
0,4
4
7
0,108
1,258
465,91
5
11
1,244
488,52
0,125
0,85
272,12
0,128
0,815
254,68
10
0,02
0,117
0,12
0,756
0,8
258,3
266,67
0,45
9
0,115
0,79
275,08
14
0,789
273,17
6
0,486
162,11
0,493
164,25
0,0067
0,132
0,496
0,504
150,32
157,47
8
0,14
0,544
155,43
0,5
155,24
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7